睿 博 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: LH-rbjy0002 副校长/组长签字: 签字日期:
教学内容
数列通项及求和 主干知识整合:
1.数列通项求解的方法
(1)公式法;(2)根据递推关系求通项公式有:①叠加法;②叠乘法;③转化法.(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法;(4)用a n =⎩⎨
⎧
S 1n =1
S n -S n -1n ≥2
求解.
2.数列求和的基本方法:
(1)公式法;(2)分组法;(3)裂项相消法;(4)错位相减法;(5)倒序相加法. ► 探究点 一 公式法
如果所给数列满足等差或者等比数列的定义,则可以求出a 1,d 或q 后,直接代入公式求出a n 或S n .
已知{a n }是等差数列,a 10=10,前10项和S 10=70,则其公差d =________.
► 探究点二 根据递推关系式求通项公式
如果所给数列递推关系式,不可以用叠加法或叠乘法,在填空题中可以用不完全归纳法进行研究. 例2 (1)已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=5a n -13
3a n -7(n ∈N *),则数列{a n }的前100项的和为________.
(2)已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,a 2=2,b 1=2,且对任意的正整数i ,j ,k ,l ,当i +j =k +l
时,都有a i +b j =a k +b l ,则
12010∑=+2010
1
i i i )b (a 的值是________. (1)200 (2)2012 【解析】 (1)由a 1=2,a n +1=5a n -133a n -7(n ∈N *
)得a 2=5×2-133×2-7=3,a 3=5×3-133×3-7=
1,a 4=5×1-13
3×1-7
=2,则{a n }是周期为3的数列,所以S 100=(2+3+1)×33+2=200.
(2)由题意得a 1=1,a 2=2,a 3=3,a 4=4,a 5=5;b 1=2,b 2=3,b 3=4,b 4=5,b 5=6.归纳得a n =n ,
b n =n +1;设
c n =a n +b n ,c n =a n +b n =n +n +1=2n +1,则数列{c n }是首项为c 1=3,公差为2的等差数列,问题转化为求数列{c n }的前2010项和的平均数.
所以12010∑=+20101i i i )b (a =12010×
2010×
3+4021
2
=2012.
► 探究点四 数列的特殊求和方法
数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握,其中通项公式{a n b n }的特征为{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.
例4 在各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 2=2a 1+3,且3a 2,a 4,5a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 3a n ,求数列{a n b n }的前n 项和S n . 【解答】 (1)设{a n }公比为q ,由题意得q >0,
且⎩⎨
⎧
a 2=2a 1+3,3a 2+5a 3=2a 4,
即⎩⎨⎧
a 1q -2=3,2q 2
-5q -3=0,
解得⎩⎨
⎧
a 1=3,q =3
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1
=-6
5,q =-12(舍去),
所以数列{a n }的通项公式为a n =3·3n -1=3n ,n ∈N *. (2)由(1)可得b n =log 3a n =n ,所以a n b n =n ·3n . 所以S n =1·3+2·32+3·33+…+n ·3n ,① 3S n =1·32+2·33+3·34+…+n ·3n +1.② ②-①得,2S n =-3-(32+33+…+3n )+n ·3n +1 =-(3+32+33+…+3n )+n ·3n +1, =-
31-3n 1-3
+n ·3n +1=3
2
(1-3n )+n ·3n +1
=3
2
+
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
n-
1
2
3n+1.
所以数列{a n b n}的前n项和为S n=3
4
+
2n-1
4
3n+1.
2.证明数列是等差或等比数列的方法(1)等差数列。