赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

DBC2016-2017学年浙江省台州市玉环县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）1．（4分）下列图形分别是台州、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短3．（4分）小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm4．（4分）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形5．（4分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC 的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°6．（4分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2 B．3 C．5 D．2.57．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或178．（4分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．4cm B．3 cmC．2cm D．1cm9．（4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行10．（4分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2016次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A．（0，3） B．（5，0） C．（7，4） D．（8，3）二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=80°，∠B=30°，则∠A的度数为．12．（5分）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=ED，要说明△ABC≌△EDC，①若以“SAS”为判定依据，还要添加的一个条件为；②若添加条件AC=EC，则可以依据判定全等．13．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC 的度数是．14．（5分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=．15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为．16．（5分）在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B 运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），当x=，△BPQ是直角三角形．三、解答题（本题有8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）请画出△ABC 关于y轴对称的△A1B1C1；（2）若△A2B2C2是△ABC 关于x轴对称的图形，请直接写出A2、B2、C2的坐标．A2（）．B2（）．C2（）．18．（8分）如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC=∠A．19．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE 为△ABD的中线．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数．（2）在△BED中作BD边上的高，垂足为F．（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高EF的长为多少？20．（8分）如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．（1）∠B 与∠D相等吗？请说明理由；（2）求证：EC=FC．21．（10分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况：（1）将下面的表格补充完整：（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E 三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，AM是∠DAC 的平分线．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作AC的中点E．②连接BE并延长交AM于点F；（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．24．（14分）我们在学习垂直平分线的过程中，发现三角形各边的垂直平分线（类似于三角形的高线、中线和角平分线）相交于一点．（1）三角形三边的垂直平分线的交点一定A．到三条边的距离相等B．到三个顶点的距离相等（2）如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，小明同学通过画AC，BC的垂直平分线，发现它们相交于斜边上一点P，此时∠APB=180°．于是小明展开了进一步的探究：如图2，△ABC中，∠ACB＜90°，边AC、BC的垂直平分线交于点P．①若△ABC是等边三角形时，则∠APB=°；②请猜想此时∠APB与∠ACB存在的等量关系，并说明理由；（3）小明还想要继续研究∠ACB＞90°时，∠APB与∠ACB存在的等量关系（如图3）．此时，题（2）②中的关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出你认为正确的关系；（4）通过上面的研究，当∠ACB=，△PBA是等边三角形．2016-2017学年浙江省台州市玉环县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）1．（4分）下列图形分别是台州、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．2．（4分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【解答】解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故选：A．3．（4分）小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm【解答】解：设木条的长度为xcm，则9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，故她应该选择长度为12cm的木条．故选：C．4．（4分）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【解答】解：360÷36=10．故选：D．5．（4分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC 的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=70°×=35°，∴∠BDC=50°+35°=85°，故选：A．6．（4分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2 B．3 C．5 D．2.5【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选：B．7．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．8．（4分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．4cm B．3 cmC．2cm D．1cm【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴BN=AN，∵BC+CN+BN=7，∴BC+AN+CN=7，即BC+AC=7，∴BC=3cm，故选：B．9．（4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行【解答】解：观察原图，对称变换后又进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；对应点连线是不可能平行的，D是错误的；找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．故选：B．10．（4分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2016次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A．（0，3） B．（5，0） C．（7，4） D．（8，3）【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，当点P第1次碰到矩形的边时，点P的坐标为（3，0），当点P第2次碰到矩形的边时，点P的坐标为（7，4），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为（8，3），当点P第4次碰到矩形的边时，点P的坐标为（5，0），当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4），当点P第6次碰到矩形的边时，点P的坐标为（0，3），当点P第7次碰到矩形的边时，点P的坐标为（3，0），∴每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2016÷6=336，∴当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为（0，3）．故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=80°，∠B=30°，则∠A的度数为50°．【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，又∵∠ACD=80°，∠B=30°，∴∠A=50°，故答案为：50°．12．（5分）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=ED，要说明△ABC≌△EDC，①若以“SAS”为判定依据，还要添加的一个条件为BC=DC；②若添加条件AC=EC，则可以依据HL判定全等．【解答】解：①在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）；故答案为：BC=DC；②在Rt△ABC和Rt△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（HL），故答案为：HL．13．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC 的度数是18°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．14．（5分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=8．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵FG=2，ED=6，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，故答案为8．15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为m﹣1=2n．【解答】解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，∴m﹣1=2n．故答案为：m﹣1=2n．16．（5分）在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），当x=2或，△BPQ是直角三角形．【解答】解：根据题意，得BP=tcm，CQ=2tcm，BQ=（8﹣2t）cm，若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ=90°或∠BQP=90°，①当∠BPQ=90°时，Q在A点，CQ=CA=4cm，4÷2=2（s）；②当∠BQP=90°时，∵∠B=60°，∴∠BPQ=90°﹣60°=30°，∴BQ=BP，即8﹣2t=t，解得t=，故当t=2或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为：2或．三、解答题（本题有8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）请画出△ABC 关于y轴对称的△A1B1C1；（2）若△A2B2C2是△ABC 关于x轴对称的图形，请直接写出A2、B2、C2的坐标．A2（2，﹣4）．B2（1，﹣1）．C2（3，﹣2）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；（2）如图，A2（2，﹣4）B2（1，﹣1），C2（3，﹣2）．故答案为：2，﹣4；1，﹣1；3，﹣2．18．（8分）如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC=∠A．【解答】解：∵BE‖CD，∴∠EBC=∠BCD，∵BC⊥AC，CD⊥AB，∴∠BCD+∠DCA=∠A+∠DCA，∴∠BCD=∠A，∴∠EBC=∠A．19．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE 为△ABD的中线．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数．（2）在△BED中作BD边上的高，垂足为F．（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高EF的长为多少？【解答】解：（1）∵∠BED=∠BAD+∠ABE=40°+15°=55°；（2）如右图所示：EF是BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线=S△ABC=20∴S△ABD∵BE 为△ABD的中线∴S=S△ABD=10△BDEEF==4所以△BDE中BD边上的高EF的长为4．20．（8分）如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．（1）∠B 与∠D相等吗？请说明理由；（2）求证：EC=FC．【解答】（1）解：结论∠B=∠D．理由：连接AC．在△ACB和△ACD中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠B=∠D（2）∵点E与F分别是AB、AD的重点∴BE=AB，DF=AD，∵AB=AD∴BE=DF，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS）∴EC=FC．21．（10分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况：（1）将下面的表格补充完整：（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）n=4时，360°÷4=90°，∠α=90°÷2=45°，n=5时，360°÷5=72°，∠α=72°÷2=36°，n=6时，360°÷6=60°，∠α=60°÷2=30°，边数为n时，∠α=×=；（2）假设存在一个正多边形，其中的∠α=21°，则=21°，解得n=（不是整数），所以，不存在一个正多边形使∠α=21°．22．（12分）如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E 三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD=AE．（2）成立．∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°．∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD=AE．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，AM是∠DAC 的平分线．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作AC的中点E．②连接BE并延长交AM于点F；（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①如图，点E即为所求；②如图，点F即为所求；（2）AF∥BC且AF=BC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．由作图可知：∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC．∵E是AC的中点，∴AE=CE．在△AEF和△CEB中，∵，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF=BC．24．（14分）我们在学习垂直平分线的过程中，发现三角形各边的垂直平分线（类似于三角形的高线、中线和角平分线）相交于一点．（1）三角形三边的垂直平分线的交点一定BA．到三条边的距离相等B．到三个顶点的距离相等（2）如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，小明同学通过画AC，BC的垂直平分线，发现它们相交于斜边上一点P，此时∠APB=180°．于是小明展开了进一步的探究：如图2，△ABC中，∠ACB＜90°，边AC、BC的垂直平分线交于点P．①若△ABC是等边三角形时，则∠APB=120°°；②请猜想此时∠APB与∠ACB存在的等量关系，并说明理由；（3）小明还想要继续研究∠ACB＞90°时，∠APB与∠ACB存在的等量关系（如图3）．此时，题（2）②中的关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出你认为正确的关系；（4）通过上面的研究，当∠ACB=150°或30°，△PBA是等边三角形．【解答】解：（1）由垂直平分线的性质定理得，三角形三边的垂直平分线的交点一定到三个顶点的距离相等故选B；（2）①如图2，连接PC∵PC=PA∴∠PCA=∠PAC∵PC=PB∴∠PCB=∠PBC∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC﹣∠CAP）+（∠ABC﹣∠CBP）=（∠BAC+∠ABC）﹣（∠CAP+∠CBP）=180°﹣∠ACB﹣∠ACB=180°﹣2∠ACB∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=180°﹣（180°﹣2∠ACB）=2∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠APB=2∠ACB=120°，故答案为：120°②∠APB=2∠ACB理由：如图2，连接PC∵PC=PA∴∠PCA=∠PAC∵PC=PB∴∠PCB=∠PBC∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC﹣∠CAP）+（∠ABC﹣∠CBP）=（∠BAC+∠ABC）﹣（∠CAP+∠CBP）=180°﹣∠ACB﹣∠ACB=180°﹣2∠ACB∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=180°﹣（180°﹣2∠ACB）=2∠ACB（3）题（2）②中的关系不成立，新结论是：∠APB=360°﹣2∠ACB；理由：如图3，连接PC∵PC=PA∴∠PCA=∠PAC∵PC=PB∴∠PCB=∠PBC∴∠PAB+∠PBA=（∠CAP﹣∠BAC）+（∠CBP﹣∠ABC）=（∠CAP+∠CBP）﹣（∠BAC+∠ABC）=∠ACB﹣（180°﹣∠ACB）=2∠ACB﹣180°∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=180°﹣（2∠ACB﹣180°）=360°﹣2∠ACB，（4）当∠ACB＜90°时，由（2）知，∠APB=2∠ACB，∵△PBA是等边三角形，∴∠APB=60°，∴2∠ACB=60°，∴∠ACB=30°，当∠ACB＞90°时，由（3）知，∠APB=360°﹣2∠ACB，∵△PBA是等边三角形，∴∠APB=60°，∴360°﹣2∠ACB=60°，∴∠ACB=150°，故答案为：150°或30°，。