高考小题标准练(一)
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2-3x<0}，若A∩B≠∅，则b等于( )
A.1
B.2
C.3
D.1或2
【解析】选D.因为集合B={x∈Z|x2-3x<0}={1，2}，且A∩B≠∅，故b=1或b=2.
2.若(1+2ai)i=1-bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )
A.+i
B.
C.
D.
【解析】选C.因为(1+2ai)i=1-bi，
所以-2a+i=1-bi，a=-，b=-1，
|a+bi|=|--i|=.
3.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.
所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；
甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；
甲、乙的成绩的方差分别为=×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2，=×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=，C对；
甲、乙的成绩的极差均为4，D错.
4.已知sinα+cosα=,则tanα+的值为( )
A.-1
B.-2
C.
D.2
【解析】选D.依题意得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=2,
所以2sinαcosα=1,从而tanα+===2.
5.已知点P是椭圆+=1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是( )
A.(0，4)
B.(0，4]
C.(2，4)
D.(2，4]
【解析】选A.由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，
当点P趋近于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；
当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于=4，
所以|OM|的取值范围为(0，4).
6.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件
是( )
A.S≤?
B.S≤?
C.S≤?
D.S≤?
【解析】选C.由程序框图可知,要输出k=8,需S=++=时条件成立,当S=+++=时条件不成立,从而填S≤?.
7.等差数列{a n}的前n项和为S n,若6a3+2a4-3a2=5,则S7等于( )
A.28
B.21
C.14
D.7
【解析】选D.由6a3+2a4-3a2=5,
得6(a4-d)+2a4-3(a4-2d)=5,即5a4=5,
所以a4=1,所以S7===7.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.+
B.1+
C.+
D.1+
【解析】选B.由三视图知该几何体为圆锥与直三棱柱的组合体,其中圆锥的高为1,底面为圆的,圆半径为1;直三棱柱的高为1,底面为直角三角形,两条直角边长分别为1和2,所以该几何体的体积为×π×12×1+×1×2×1=+1.
9.的展开式中x2y3的系数是( )
A.-20
B.-5
C.5
D.20
【解析】选A.由通项得T r+1=(-2y)r，
令r=3，所以T4=(-2y)3=-20x2y3，所以x2y3的系数为-20.
10.点A,B,C,D均在同一球面上,且AB,AC,AD两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( )
A.7π
B.14π
C.π
D.
【解析】选B.三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体,它也外接于球,长方体的体对角线长为其外接球的直径,所以长方体的体对角线长是
=,它的外接球半径是,外接球的表面积是4π×=14π.
11.已知Ρ是双曲线-=1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且
·=0，若△ΡF1F2的面积为9，则a+b的值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选C.双曲线的离心率e==，
由·=0可得⊥，
则△ΡF1F2的面积为||||=9，
即||||=18，又在Rt△ΡF1F2中，
4c2=||2+||2
=(||-||)2+2||||=4a2+36，
解得a=4，c=5，b=3，所以a+b=7.
12.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.因为f(0)=-1+a<0,
x0=0是唯一的使f(x)<0的整数,所以x0=0.所以
即解得a≥.
又因为a<1,所以≤a<1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=__________.
【解析】因为e1·e2=,
所以|e1||e2|cos<e1,e2>=,
所以<e1,e2>=60°.
又因为b·e1=b·e2=1>0,
所以b与e1,e2夹角相等,且为锐角.
即b应该在e1,e2夹角的平分线上,
所以<b,e1>=<b,e2>=30°.
由b·e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,
所以|b|==.
答案:
14.已知实数x，y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x，y)有
无数个，则a的值为________.
【解析】依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示.
要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，
则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0，于是有a=1.
答案：1
15.如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是______种.
【解析】先涂A，则有=5种涂法，再涂B，
因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有=4种涂法，
同理C有=3种涂法，D有=4种涂法，E有=4种涂法，由分步乘法计数原理可知，可组成的不同的积木拼盘的种数为5×4×3×4×4=960.
答案：960
16.已知M是曲线y=lnx+x2+(1-a)x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于
的锐角，则实数a的取值范围是__________.
【解析】依题意，得y′=+x+(1-a)，其中x>0.
由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角得，对于任意正数x，均有+x+(1-a)≥1，即a≤+x.注意到当x>0时，+x≥2=2，
当且仅当=x，即x=1时取等号，
因此实数a的取值范围是(-∞，2].
答案：(-∞，2]。