y
y=f(x)
Q
P
△x △y
x
x+ △x
x
函数 y=f (x) 在某处的导数值，就表示了该处 切线的斜率，也就是在该点处函数 y=f (x) 随 x 的 变化率。
•基本函数导数公式
(c) 0, (c为常数) (sin x) cos x
2 (tgx) sec x 1 (loga x) ( x ln a )
dy f ( x ) dx
可将 dx 看成是自变量x 的一个趋于零的微小增量， 称为自变量的微分；而相应的将 dy 看成是函数 y 的微小增量，称为函数的微分。
有： 例
dy f ( x)dx
求函数 y = 5x + sin x 的微分
dy f ( x)dx (5x sinx)dx (5 cos x)dx
n 1 ( x ) nx (cos x) sin x n 2 (ctgx) csc x 1 (ln x) x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
2 1
2 1 (arcsin x) ( 1 x ) , (1 x 1)
∵
F ’(x) =[F(x) +c ]’，c 为任意常数，
二、不定积分 •定义：函数 f (x) 的所有原函数F(x) +c 叫 f (x) 的
不定积分，记为：
f ( x )dx F ( x ) c
•不定积分的性质：
f ( x)dx

f ( x)
F ( x)dx F ( x) c
微积分初步
•函数的导数与微分 •函数的不定积分与定积分
§1 函数、导数与微分
一、变量、常量与函数 •变量：在某一过程中取值会不断变化的量。 •常量：在某一过程中取值始终不变的量。 •函数：变量 y 按某种确定的关系随变量 x 的变化而 变化，则称 y 是 x 的函数，x 叫自变量，y 叫因变量， 写作： y=f (x) 例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x •复合函数：若 y 是 z 的函数 y=f (z)，而 z 又是 x 的 函数 z=g(x)，则称 y 是 x 的复合函数，记作： y=(x)=f[g(x)]
x 2( 2 x ) 3
2
1 5 3
§2
不定积分
一、原函数 前一节学了求函数 y = f (x) 的导数 f ’(x)， 现若已知一函数 F(x) 的导数为 f (x) ，要求 原函数F(x) 例 因 (x3)’ = 3x2 ，所以 x3 为3x2 的原函 数 （sin x)’ = cos x ， sin x 是cos x 的原 函数
3. 若能找到函数 u= u(x) ，使
且积分
f ( x)dx g (u )du
较易求出，则：
g (u )du F (u ) c
f ( x)dx g (u )du F u( x) c
dx 例1 求 1 x
解：令 u = 1+x , 微分得：du =dx ，有：
•定积分的几何意义：
间的面积，因而定积分：
由图可知 f (xi) △x 为图中一个小区
b
y f (xi)
y=f (x)

a
f ( x )dx
a
△x
b x
表示了区间 [ a, b ] 上，曲线 y =f (x) 下方的面积。
注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意 义下的面积。
•定积分的主要性质：
例1：求 y = x3 ln x 的导数
解
1 2 y 3 x ln x x x (3 ln x 1) x
2 3
例2 求 y = sin x / x 的导数
解
cos x x sin x cos x sin x y 2 x x x2
•二阶导数与高阶导数
前述函数的导数是 y 对 x 的一阶导数，若将一 阶导数 y’ 再次对 x 求导，则为二阶导数：
例：y=sin(ax2+bx+c),
y=esin(2x+3)
二、函数的导数
设函数 y=f (x) 在 x 处有一增量△x， y
相应地函数有增量 △y ，则比值
y=f(x)
△y
△x
y f ( x x ) f ( x ) x x
x
x+ △x
x
叫函数 y=f (x) 在 x 到x+ △x 之间的平均变化率。
例3 求
2 x x 1dx
解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：
1 1/ 2 x x 1 dx u du 2 3/ 2 1u 1 2 3/ 2 c ( x 1) c 2 3 3 2
2
例4 求
e cos( e ) dx
3x 3x
例1 求

2
1
xdx x2 1
解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：
xdx 1 du 1 1 2 2 ln u c ln(x 1) x 1 2 u 2 2
2 1
xdx 1 1 1 5 2 ln(x 1) (l n5 ln 2) ln 2 x 1 2 2 2 2 1
又在各小区间内选取一点xi 得出函数在这些 点处的值 f (xi) (i= 1,2,3,…,n)
y f (xi)
y=f (x)
a
xi
△x
b x
l i m f ( xi )x •定义： n
x 0 i 1
n

a
b
f ( x )dx
为函数 f (x) 在区间[ a, b ] 上的定积分。 f (x) 为被积 函数，a ,b 分别为积分下限和上限。
dx du ln u c ln 1 x c 1 x u
例2 求
sin( ax b)dx
解：令 u = ax+b , 微分得：du =adx ，有：
1 si n (ax b)dx a si nudu 1 1 cosu c cos(ax b ) c a a
(arccosx) ( 1 x ) , (1 x 1)
2 1 (arctgx) (1 x ) 2 1 (arcctgx) (1 x )
•导数的基本运算法则：（设 u = u(x), v = v(x) ）
(u v ) u v (uv) u v uv; (cu ) cu , (c为常量) u v uv u , ( v 0) 2 v v 1 若x ( y )为y f ( x )的反函数，则f ( x ) ( x ) dy dy du 若y f (u ), u g ( x ), 则 dx du dx
例3 求由曲线 y=x2 和曲线 y=4-x2 所包围的面积。 解：先求出两曲线交点A , B 的 x 坐标为: x1 2 x2 2 由定积分的几何意义知有： A
y=4-x2
y y=x2
B
x
S
( 4 x
2 2 3
2
) x
2
2

dx 2 2
2
2
( 2 x 2 )dx
yLeabharlann x1x2x3
x
极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的 判定条件是： f ’(x) = 0 极大值点的条件是： f ’(x) = 0，f ’’(x) ＜ 0
极小值点的条件是： f ’(x) = 0，f ’’(x) ＞ 0
例
求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值
解：因 y’ =12x2-6x
这说明不定积分是求导数的逆运算。
•不定积分公式：
0dx c
x x dx n 1 c x a x a dx ln a c
n n 1
adx ax c
1 x dx ln x c
e dx e
x 2
x
c
sin xdx cos x c sec xdx tgx c

c
a
f ( x )dx f ( x )dx
•定积分的计算（牛顿－莱布尼茨公式） 若不定积分
则定积分
f ( x)dx F ( x) c

b a
f ( x)dx F ( x) a F (b) F ( a )
b
由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其 不定积分（原函数 F (x) ），再求 F(b) - F(a)
1. 2. 3. 4.

b
a b
f ( x )dx f ( x )dx
b
a

a b
kf ( x )dx k f ( x )dx
a b a
b
f ( x) g ( x)dx
a b a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
f ( x )dx
2 2
有
y y lim 2x x 0 x
所以当 x = 1 时，y’ = 2，当 x = 3 时，y’ = 6
•导数的几何意义： 从图中知道， △y/ △x 是
过P、Q 两点的割线的斜率，而当△x 0 时，割线成为过P 点的切线，因 而导数 y’=f ’(x) 表示曲线在 x 处切线 的斜率。
•函数 y=f (x) 在 x 处的导数定义为：
y dy y' f ' ( x ) lim x 0 x dx