导数的定义及几何意义编辑整理：烟花四月注：①函数应在点X o 的附近有定义，否则导数不存在。
②在定义导数的极限式中， x 趋近于0可正、可负、但不为0,而 y 可能为0。
③一y 是函数y f (x)对自变量x 在x 范x围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y f (x)上点(X 0 , f(x °))及点(x °+ x ,点X 0的处瞬时变化率，它反映的函数y f (x)在X 0点处变化的快慢程度， 它的几何意义是 曲线y f (x)上点(X 0, f(x °))处的切线的斜率。
⑤若极限lim 丄^°__X)―不X 0X存在，则称函数y f (x)在点X 0处不可导。
⑥如果函数yf (x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数 y f (x)在开区间(a,b)内可导；此时对于每 一个x € (a,b)，都对应 着一个确定的导数f lx)，从而构成了一个新的函数 f lx)，称这个函数 f /(x)为函数y f (x)在开区间(a,b)内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是 求导函数值。
[举例 1]若 f /(x °) 2，则 limf(X0k)一等于：k 02k(A) -1 (B) -2(C) 1(D) 1/21- f /(x o )lirfx 0X )f(X o )叫函数y xf (x)在 xx o 处的导数，记作y /|x x 0f(X 0X 0))的割线斜率。
④导数f /(X 。
)lim f(X0x)f(X0)是函数x 0xf (x)在解析：••• f /(x 0) 2，即 limf[X o( k)] f(X o)=2k 0x0/V -T叫Hk ［举例2］已知a 0,n 为正整数•设y (x a)n，证明 y' n(x a)n解析：本题可以对 y (x a)n 展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明:lim ax 0nx a)n(x a)=x0(x a)nC ：(x a)n1x C ；(x a)n2( x)2C n n( x)n(x a)n[巩固2]设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C——q) C(qo)刻划.如果q 无限趋qqC近于0时，—C 无限趋近于常数 A ,经济学上称A 为边际成本•它表明当产量为q 0时，增q加单位产量需付出成本 A (这是实际付出成本的一个近似值)。
设生产x 个单位产品的总成2x 本函数是C(x) — 8 + ，贝性产 8个单位产品时, 边际成本是：() A . 2B . 8C . 10D . 162.常用导数公式：C'0,(x n)'n 1/ x 、/nx ,(e )e x, (ln x)/1;导数的运算法则：若函数f(x)与g(x)的导数存在，则[f(X ) g(x)]'f'(x) g'(x),[cf(x)]' c f'(x) , [f(x)g(x)]/ f /(x)g(x) f (x)g /(x)；(丄0)/ f(x )g(x )2 f (x)g (X)(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)g(x)g (x)复合函数的导数：由 y f(u)与u = (x)得到复合函数y f (x)，贝U y x = y u .U x 。
解析：f /(1)是常数，••• f /(x) 3x 2 2xf /(1) 1 f /(1) =3+2 f /(1)-1 f /(1) = -2 二 f /(x) 3x 24x 1，故fl2)=3。
123n[举例 2] n N , C n 2C n 3C n n 6= ___________ 。
解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法( kC ： = n C ： 1 )；这里，我 们观察(1 x)n C 0 C ；xC ：x 2C ；x 3C ；x n①，不难发现其通项C ：x k求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得:C ： 2Cn 3Cn nC n = n 2nn(x limx 0n 1 2 n 22a) X C n (x a) ( x)xC ；( x)nlim[n(x a)n 1C ：(x a)n 2x C ；(x a)n 3( x)2x 0C n (x)n1]= n(x a)n1[巩固1] 一质点作曲线运动, 定义求t =3时的速度。
它的位移S 与时间t 的关系为:t 222t ，试用导数的C = C (q ),当产量为q o 时,产量变化 q 对成本的影响可用增量比3[举例1]已知f (X ) xx 2f /(1) x ，则 f /(2)= _____________n(1 x)n C n 2C：x 3C；x2nC；J x n 1，令x=i 得：. . 2 /［巩固1］已知 f (x) x 1 In x 2aln x(x 0).令 F (x) xf (x)，贝U F (x) = __________________ 。
［巩固2］已知函数f(x) (x 1)(2x 1)(3x 1) (nx 1)，贝U f /(0)的值为：A. Cn B . C21 C . An D . An 13.函数f(x)在x x o处的导数f'(X o)的几何意义：曲线C : y f (x)在其上点P(X o , y o)处的切线的斜率。
用导数研究切线问题，切点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率)。
1x 2［举例1］曲线y e2在点(4, e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )9 2 2 2 2A.—eB. 4e c. 2e D. e (07 高考海南理10)21 1x / 1 2 x 2 1 2解析：ye2y ^e ,则］曲线在点(4, e )处的切线斜率为：^e ,1•••切线方程为：ye -e (x 4)，它与坐标轴的交点分别为：(2, 0), (0, -e )；•••切线与坐标轴所围三角形的面积为：e2，选Dt［举例2］函数y f(x)的图象在点P处的切线方程是：y x 8，若点P的横坐标为5, 则f (5) f/⑸= 。
解析：本题没有函数表达式，但有切线方程y x 8，注意到“切点在切线上”，• ( 5,3)；又“切点在曲线上” ，• f (5) 3 ；而曲线y f(x)在点P处的切线斜率为f/(5),即f/(5) =-1，故f (5) f/(5) =2o2［举例3］已知直线x y 1 0与抛物线y ax相切，则a ___________ .解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0, 从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。
以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P ( x0，y0)，y/2ax，则有：2X。
y°1 0 (切点在切线上)①；y ax°(切点在曲线上)②12ax°=1 (切点横坐标的导函数值为切线斜率)③；由①②③解得： a - o41［巩固1］已知函数y f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y —x 2，则2f (1) f (1) ________ . ( 07 高考湖北文13)-上的动点，设点P 处切线的倾斜角为 ，贝y 的取值范3［巩固3］若直线y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线，贝U a=f(x)上过点M 的切线”与“求曲线 y f(x)上在点M 处的切 线”；前者只要求切线过 M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是 M 点。
［举例］求函数y=x 3-3x 2+x 的图象上过原点的切线方程解析：易见0 ( 0, 0)在函数y=x 3-3x 2+x 的图象上，y=3x 2— 6x+1,但O 点未必是切点。
设切点A ( X o ,y o ) •/ y =3x 2 — 6x+1,二切线斜率为3x 。
2 — 6x °+1,又切线过原点，y ok AO - =3x 02— 6x 0+1 即：y 0=3x 03— 6x °2+x 0①X 。
又T 切点 A (x °,y 0)y=x 3-3x 2+x 的图象上二 y °=X 03— 3x °2+x 0 ②3由①②得：X 0 =0或X 0 =，二切线方程为：y=x 或5x+4y=02点评：一般地，过三次曲线的对称中心(不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中 心在曲线上)的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。
以下给出简单证明(不要求学生掌握)：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为 f (x) ax 3bx 。
若M (x i , y i )是三次中心即x i 0时，过点 M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其 中一条就是以M 为切点(亦即曲线在点 M 处)的切线。
［巩固］曲线y x 3 2x 2 4x 2上过点(i , 3)的切线方程是 _____________________ .3［巩固2］点P 是曲线y x x 围是A 、 0 —，2B 、 0,23 ~4D 、4、注意区分“求曲线 y 曲线f (x) ax 3bx 上的任一点，设过M 的切线与曲线y=f (x )相切于(X 0, y 0),贝U 切线方程为y y 0f (X 0)(X X 。
)，因点M 上此切线上，故y iy 。
f (X °)(X i X 0)，又 y ax 03bx 0,y i3■3.#3ax-! bx-!，所以 ax ibx i (ax 0 2bx °) (3ax 0b)(X i x °),整理得：(x ° X i )2(2X 0 X i ) 0，解得，X 0 X i 或 X 0X-j ,-。
当点M 是对称中心即X i =2-X i =0时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的,2且为M,故只有一条切线；当点M 不是对称答案32321.［巩固 1］ ,［巩固 2］A , 2、［巩固 1］ F （X ） 1 -27 x3、［巩固 1］ 3,［巩固 2］B ，［巩固 3］1 或；4、［巩固］5xy 20,或 21x 4y 94x 2,x 0 ;［巩固 2］B ;x13。