山东省济宁市第一中学2017届高三上学期期中考试（理）
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是( )
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
2．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。

其假设应是( ) A ．至少有5个球是同色的 B ．至少有5个球不是同色的 C ．至多有4个球是同色的 D ．至少有4个球不是同色的
3．在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )
A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(－1,3)
D ．(3，－1)
4．当2
3<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－32
B.32 C ．－23
D.23
6．观察下列各式：55＝3 125, 56＝15 625, 57＝78 125，…，则52 011 的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625
D ．8 125
7．已知在复平面内，向量AB ，BC
，AD 对应的复数分别为－2＋i,3－i,1＋5i ，则CD 对
应的复数是( ) A ．－6i B ．6i C ．5i
D ．－5i
8．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( ) A ．小前提错 B ．结论错 C ．正确
D ．大前提错
9．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝a ，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积πr 2
，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积S ＝πab
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
10．如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x 轴、y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2 000秒后，这个质点所处的位置的坐标是( )
A ．(24,24)
B ．(24,44)
C ．(44,24)
D ．(44,44)
第Ⅱ卷
二、填空题
11．z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．
12．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若O C →＝2O A →＋O B →
，则a ＝________，b ＝________.
13．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30仍成等
比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________也成等差数列，该等差数列的公差为________． 14．已知
2＋2
3
＝223
，3＋38
＝338
，4＋415
＝4415
，…，若6＋a t
＝6
a
t
(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.
15．由图(1)有面积关系：S ΔP A ′B ′S ΔP AB ＝P A ′·PB ′
P A ·PB ，则由(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC
＝________
图1
图2 三、解答题
16．已知复数z＝(2＋i)m2－
6m
1－i
－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯
虚数．
17．已知a>0，b>0，求证：a
b
＋
b
a
≥a＋b.
18．(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1＋2i,3－5i.求另外两个顶点C，D对应的复数．
19．(本小题满分12分)等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n
n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
20．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，…
(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.
参考答案
1．B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11．1 12.－3 －10
13．S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30,300 14．41 15.P A ′·PB ′·PC ′
P A ·PB ·PC
16．【解析】 由于m ∈R ，复数z 可表示为 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i) ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0， 即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．
(2)当⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2
－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，
即m ＝－1
2时，z 为纯虚数．
17．【解析】 ∵a >0，b >0 要证
a b ＋b
a
≥a ＋b 成立 只需证⎝⎛
⎭⎫a b
＋b
a 2≥()a ＋
b 2成立
只需证a 2b ＋b 2
a ≥a ＋
b ＋2ab
只需证a 3＋b 3
ab
≥a ＋b
只需证()a ＋b ()a 2－ab ＋b 2
≥ab ()a ＋b
只需证a 2－2ab ＋b 2≥0 只需证(a －b )2≥0
而(a －b )2≥0显然成立，则原不等式得证．
19．【解析】 设D (x ，y )，A ，B ，C ，D 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，则z 4－z 1＝x －1 ＋(y －2)i ，z 2－z 1＝2－7i.
在正方形ABCD 中，AD ⊥AB ，且|AD |＝|AB |，z 4－z 1表示A D →，z 2－z 1表示A B →， ∴|z 4－z 1|＝|z 2－z 1|，即 x 2＋y 2－2x －4y －48＝0.① (x －1)·2－7(y －2)＝0， 即2x －7y ＋12＝0.②
①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8，y ＝4.
又B C →＝A D →
， 则z 3－z 2＝z 4－z 1，
z 3＝z 4＋z 2－z 1＝(x ＋2)＋(y －7)i.
综上可得⎩⎪⎨⎪⎧ z 3＝－4－7i ，z 4＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧
z 3＝10－3i ，
z 4＝8＋4i.
19．【解析】 (1)由已知得⎩⎨⎧
a 1＝2＋1，
3a 1
＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n
n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0.
∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 20．(1)a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a n ＝n ＋1(n ≥1) (2)见详解． 【解析】 (1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，
由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，
由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，
那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2.。