导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝；1x(5)y ＝f (x )＝.x 问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵＝＝＝0，∴y ′＝ ＝0.Δy Δx f (x ＋Δx )－f (x )Δxc －c Δx lim Δx →0ΔyΔx 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)′＝－，(5)()′＝.(1x )1x 2x 12x函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)()′＝(x)′＝xx 1212＝，∴(x α)′＝αx α－1.112－12x基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝xα(α∈Q*)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f(x)＝axf′(x)＝axln af(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a f(x)＝ln xf′(x)＝1x二、导数运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝.1x问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋，H (x )＝x －的导数．1x 1x 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋－＝Δx ＋，1x ＋Δx (x ＋1x )－Δx x (x ＋Δx )∴＝1－，∴Q ′(x )＝＝＝1－.Δy Δx 1x (x ＋Δx )lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]1x 2同理H ′(x )＝1＋.1x2问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差．导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )3.′＝(g (x )≠0)[f (x )g (x )]f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2题型一 利用导数公式直接求导[例1]　求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)；x y 21log =(4)y ＝；(5).4x 312cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y [解]　(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝；1x ln 10(3)y ′＝＝－；(4)y ′＝()′＝；(5)∵y ＝21x ln 121x ln 24x 3344x (sin x 2＋cos x 2)－1＝sin 2＋2sin cos ＋cos 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .x 2x 2x 2x2练习 求下列函数的导数：(1)y ＝x ；(2)y ＝x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg ；(5)y ＝2cos 2－1.(1e )(110)3x x 2解：(1)y ′＝′＝x ln ＝－＝－e －x ；(2)y ′＝′＝[(1e)x ](1e )1e 1ex [(110)x](110)x ln＝＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′110－ln 1010x ＝0；(4)∵y ＝3lg ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝；(5)∵y ＝2cos 2－1＝cos 3x 1x ln 10x2x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求函数的导数[例2]　求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin cos ；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝.x 2x 2ex ＋1e x －1[解]　(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －sin x ，∴y ′＝x ′－(sin x )′＝1－cos x .121212(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋.1x ln 3(4)y ′＝＝＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2.－2e x (e x －1)2练习 求下列函数的导数：(1)y ＝；(2)y ＝x sin x ＋；(3)y ＝＋；(4)y ＝lg x －.cos xxx 1＋x 1－x 1－x 1＋x1x 2解：(1)y ′＝′＝＝＝－(cos x x )(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2－x ·sin x －cos xx 2.x sin x ＋cos xx 2(2)y ′＝(x sin x )′＋()′＝sin x ＋x cos x ＋.x 12x (3)∵y ＝＋＝＝－2，∴y ′＝′＝(1＋x )21－x (1－x )21－x 2＋2x1－x 41－x (41－x －2)＝.－4(1－x )′(1－x )24(1－x )2(4)y ′＝′＝(lg x )′－′＝＋.(lg x －1x 2)(1x 2)1x ln 102x 3题型三 导数几何意义的应用[例3]　(1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．[解析]　(1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x －10＝2，解得x 0＝20±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0　(2)(2,1)练习 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.答案：11.切线方程的求法[典例]　已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解]　由已知得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3－6＋3a ＝3a －3，且f (1)＝1－3＋3a －3a ＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)，即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程．解：所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x －2，且y 0＝f (x 0)＝x －2x 0.2030所以切线方程为y －y 0＝(3x －2)(x －x 0)，20即y －(x －2x 0)＝(3x －2)(x －x 0)．3020因为切线过点(1，－1)，故－1－(x －2x 0)＝(3x －2)·(1－x 0)3020即2x －3x ＋1＝0，3020解得x 0＝1或x 0＝－，12故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程．解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝3x －3，20故切线方程为y －y 0＝3(x －1)(x －x 0)．20又点A (0,16)在切线上，所以16－(x －3x 0)＝3(x －1)(0－x 0)，3020化简得x ＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，30故切线方程为9x －y ＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②′＝cos ；(sinπ3)π3③若y ＝，则y ′＝－； ④′＝.1x 21x (－1x )12x x 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin ＝，而′＝0，所π332(32)以②错误；′＝＝＝－2x－3，所以③错误；(1x 2)0－(x 2)′x 4－2x x 4′＝－＝＝x ＝，(－1x )0－(x )′x 12xx 1232－12x x所以④正确．答案：B 2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：14．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－65．求下列函数的导数：(1)y ＝x；(x 2＋1x ＋1x 3)(2)y ＝；1＋cos x x 2(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x＝x 3＋1＋，∴y ′＝3x 2－.(x 2＋1x ＋1x 3)1x 22x 3(2)y ′＝＝.(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4－x sin x －2cos x －2x 3(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。