2019年中考数学真题分类汇编：知识点32 与圆的有关计算一、选择题9．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．6．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．6.（2019·遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 6．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图 【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC 6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD＝AD ＝12AC ＝4,∴BD 22213CD ,故选C.7．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 8．（2019·绍兴 ）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( ) A.π B.π2 C.π2 D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A ＝180°-∠B-∠C ＝45°， 连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2， 所以弧BC 的长为902180π⨯=π．10．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.π-D.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD ＝－2π＝2π,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【 】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ） A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6设∠3＝∠4＝m，∠5＝∠6＝n，得m＋n＝45°，∴∠AEB＝∠C＋m＋＝90°＋45°＝135°∴E在以AD为半径的⊙D上（定角定圆）如图，C的路径为MN,E的路径为PQ设⊙O的半径为1，则⊙D，∴MNPQ＝42136022360ttππ⨯⨯⨯1. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为A.12π B.π C.2π D.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝12OE＝12OA,在Rt△AOD中,sinA＝ODOA＝12,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝180n rπ＝2π,故选C.2. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－12π4t2tt165432QPEDA OBCMN【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 3. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D 【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.4. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2π B ．2π C ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .5.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）A.45B.34C.23D.12【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=CEOC =√22,设CE=k，则OC=√2CE=√2k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴S正方形ABCDS⊙O=4k22πk2=2π≈23.6.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．7.（2019·湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°【答案】C．【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC＝∠C＝(52)1805-⨯︒＝108°，CB＝CD．∴∠CBD＝∠CDB＝1801082︒-︒＝36°．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝108°－72°＝36°． 故选C ．8. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2 B.3 C.32D. 2【答案】D ．【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD 长为2R ．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2R·2R ＝2．故选D ．9.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【答案】B【解析】AE ＝124AB π⋅⋅,右侧圆的周长为DE π⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124AB π⋅⋅＝DE π⋅,AB ＝2DE,即AE ＝2ED,∵AE+ED ＝AD ＝6,∴AB ＝4,故选B.10. （2019·衢州） 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

则原来的纸带宽为（A ）A .1B 2C 3D .2【答案】CCB A【解析】正多边形的相关计算，作AM⊥FC于M，由正六边形的性质得∠AFC=60°，因为sin∠AFM=AM AF，所以AM=sin∠AFM×AF=2×2AM的长即为纸带宽，故选C.二、填空题17．（2019·苏州）如图，扇形OAB中∠AOB=90°，P为AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C．PC与AB交于点D.若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为.【答案】5（第17题）第17题答图【解析】连接DP，∵∠AOB=90°，过点P作PC⊥OA，∴∠DCA=∠AOB=90°，又∠DAC=∠BAO，∴△ACD∽△AOB，∴AC CDAO OB，又OA=OB，∴AC=CD=1，又PD=2，∴CP=3，设CO=x，则OP=OA=x+1，∵∠PCA =90°，∴OP2=OC2+CP2，∴x2+32=（x+1）2，解得x=4，∴OA= x+1=5.故答案为5.17．（2019·德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．【答案】【解析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE ＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG ＝，∴AF ＝2AG ＝．故答案为．14．(2019·广元)如图,△ABC 是 O 的内接三角形,且AB 是 O 的直径,点P 为 O 上的动点,且 ∠BPC ＝60°, O 的半径为6,则点P 到AC 距离的最大值是________.第14题图 【答案】【解析】作直径MN ⊥AC 于点Q,QM 为点P 到AC 的最大距离,∵半径为6,∴MO ＝OA ＝6,∠A ＝∠P ＝60°,∴OQ＝2OA ＝∴MQ ＝.14．（2019·温州）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧EDF 上．若∠BAC=66°，则∠EPF 等于 度．【答案】57【解析】连接OE 、OF.∵⊙O 分别切∠BAC 的两边AB 、AC 于点E 、F ，∴OF ⊥AC 、OE ⊥AB ，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧EDF 上，∴∠EPF=12∠EOF=57°. 故填：57. 13.（2019·杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm.底面圆半径为3cm.则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______ cm(结果精确到个位).OP FDC A【答案】113【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=12×2π×3×12=36π≈113（cm 2）．故答案为113．18．（2019·烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形．已知O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分的面积为 ．【答案】53π-【解题过程】224ABCS== 260223603ABCS ππ⨯==扇形，△ABC的内切圆半径为132ABCS=（2+2+2），233ABC Sππ⎛=⨯= ⎝⎭的内切圆，所以阴影部分的面积为()3=ABC ABC ABC ABC S SS S -+-的内切圆扇形（）53π-． 14．（2019·淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是. 【答案】3【解析】设该圆锥底面圆的半径是r ，则ππ155221=⨯⨯r ，解得r=3. 14．（2019·黄冈）用一个国心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为. 【答案】4π【解析】设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr ＝π⨯1206180，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的半径为2.16．（2019·陇南）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．【答案】4-π．【解析】如图：∵新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π×21＝4﹣π，故答案为：4﹣π．1.（2019·无锡）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15π2cm ，则这个圆锥的底面圆半径为_______cm. 【答案】3【解析】本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 2305s r π===6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 622l πππ===3cm ，故答案为3．2. （2019·滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．【解析】如图，连接OE ，作OM ⊥EF 于M ，则OE=EF ，EM=FM ，OM=2，∠EOM=30°，在Rt △OEM 中，cos∠EOM=OMOE，∴2=2OE ，解得OE=3，即外接圆半径为3．15．(2019·泰州)如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm,则该莱洛三角形的周长为______cm.第15题图【答案】3 【解析】以边长为半径画弧,这三段弧的半径为正三角形的边长6cm,圆心角为正三角形的内角度数为60°,每段弧长为606180π⋅⋅＝2π,所以周长为2π×3＝6π. 3. (2019·聊城)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位：cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为________.【答案】120°【解析】由图可知,圆锥的底面周长为2π,圆锥的母线AC ＝3,∴设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n °,根据弧长公式可得2π＝180n rπ,n ＝120.∴圆心角的度数为120.4. (2019·泰安)如图,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA ＝3,则阴影部分的面积为________.【答案】34π【解析】连接OC,过点C 作CN ⊥AO 于点N,CM ⊥OB 于点M,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,∴∠A ＝60°,∵OA ＝OC,∴△AOC 为等边三角形,∵OA ＝3,∴CN ＝CN ＝32,∴S 扇形AOC ＝32π,S △AOC 在Rt △AOB中,OB ＝△OCB ∠COD ＝30°,S 扇形COD ＝34π,S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC +S △OCB －S 扇形COD ＝34π.5. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1” 依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内相交于点P 2，…，半径为n +1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为．（n 为正整数）【答案】（n ）【解析】由图可知点P n 的横坐标与它所在圆的半径相同，故点P n 的横坐标为n ，点P 1=点P 2 ……点P n =，∴点P n 的坐标为（n ）．6.（2019·重庆B 卷）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =4，AD =2√2，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是【答案】8√2-8【解题过程】连结AE .∵在矩形ABCD 中，AB =4,AD =2√2，∴AB =√2AD ，∴∠EAD =∠EAB =45°，∴AE=AD =2√2, ∴S阴=AEDAEDABCE ABE ABCE S S S S S S +--=-扇形AEF 梯形扇形梯形 =12×（8-2√2）×2√2-12×2√2×2√2=8√2-8. 7. （2019·重庆A 卷）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】23π． 【解析】∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形，且∠BAD ＝∠BCD ＝120°．∴S 阴影＝2S 正三角形ABC－2S 阴影AEF ＝2×22－2×21201360π⋅⋅＝23π．如下图：25．（2019山东滨州，25，13分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ． （1）求证：直线DF 是⊙O 的切线； （2）求证：BC 2＝4CF •AC ；（3）若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝15°，求阴影部分的面积．【解题过程】解：（1）如图所示，连接OD ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，而OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝∠C ， ∵DF ⊥AC ，∴∠CDF +∠C ＝90°，∴∠CDF +∠ODB ＝90°， ∴∠ODF ＝90°，∴直线DF 是⊙O 的切线．………………………………………………………………………4分 （2）连接AD ，则AD ⊥BC ，则AB ＝AC ， 则DB ＝DC ＝．………………………………………………………………………………6分∵∠CDF +∠C ＝90°，∠C +∠DAC ＝90°，∴∠CDF ＝∠DCA ， 而∠DFC ＝∠ADC ＝90°，∴△CFD ∽△CDA ，∴CD 2＝CF •AC ，即BC 2＝4CF •AC ．…………………………………………………………8分 （3）连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ， ∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝4，…………12分S 阴影部分＝S 扇形OAE －S △OAE ＝×π×42－4＝－4．………………………13分20. （2019·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF=2OD,连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC=31,BC=6. (1) 求证：∠COD=∠BAC; (2) 求⊙O 的半径OC;(3) 求证：CF 是⊙O 的切线【解析】（1）∵AG 是切线，AG ∥BC ，∴BC ⊥AF ，由垂径定理可知，∠BAC=2∠CAD ，由同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可知∠COD=2∠CAD ，从而可以证明∠COD=∠BAC ；（2）由（1）知∠COD=∠BAC ，∵cos ∠BAC=31，∴cos ∠COD=31，设OC=r,则Rt △COE 中，OE=31r ，∵BC=6，∴根据垂径定理可得CE=3，Rt △COE 中根据勾股定理可以求出半径r=249；（3）由（2）知，半径r=249=OC ，∴OE=243,DF=229则DE=223，∴EF=DE+DF=223+229=26,Rt △CEF 中，由勾股定理可求得CF=9，∴cos ∠ECF=31，∴∠ECF=∠COD ，∵∠COD+∠OCE=90°，∴∠ECF+∠OCE=90°，∴从而证明CF 是⊙O 的切线.解：（1）∵AG 是切线， ∴AG ⊥AF, ∵AG ∥BC ， ∴BC ⊥AF ，∴由垂径定理可知，∠BAC=2∠CAD ， ∵弧CD=弧CD ， ∴∠COD=2∠CAD ， ∴∠COD=∠BAC ；（2）由（1）知∠COD=∠BAC ，∵cos ∠BAC=31， ∴cos ∠COD=31，设OC=r,则Rt △COE 中，OE=31r ，∵BC=6，BC ⊥AF ∴CE=3，∴Rt △COE 中222)31(3r r =+r=249；（2）由（2）知，半径r=249=OC ， ∴OE=243,DF=229则DE=223， ∴EF=DE+DF=223+229=26,∴Rt △CEF 中，222)26(3CF =+ ∴CF=9，∴cos ∠ECF=31，∴∠ECF=∠COD ，∵∠COD+∠OCE=90°， ∴∠ECF+∠OCE=90°， ∴OC ⊥CF∴CF 是⊙O 的切线.23．(2019·广元)如图,AB 是 O 的直径,点P 是BA 延长线上一点,过点P 作 O 的切线PC,切点是C,过点C 作弦CD ⊥AB 于E,连接CO,CB. (1)求证:PD 是 O 的切线; (2)若AB ＝10,tanB ＝12,求PA 的长; (3)试探究线段AB,OE,OP 之间的数量关系,并说明理由.第23题图解：(1)连接OD,∵CD ⊥AB,∴CE ＝ED,∴PC ＝PD,∵OC ＝OD,∴△POC ≌△POD,∴∠PDO ＝∠PCO,∵PC 是 O 的切线,∴PC ⊥OC,∠PCO ＝90°,∴∠PDO ＝90°,∴PD ⊥DO,∴PD 是 O 的切线; (2)连接AC,∵tanB＝12,∴设AC ＝x,则BC ＝2x,∵AB ＝10,∴AO ＝CO ＝5,在Rt △ABC 中,由勾股定理可求得:AC ＝25,BC ＝45,∴CE ＝4,EO ＝3,∵△COE ∽△POC,∴PO ＝253,∴AP ＝PO －AO ＝103; (3)∵△COE ∽△POC,∴CO EO PO CO =,∴CO 2＝PO ·EO,∵CO ＝2AB ,∴24AB ＝PO ·EO,即AB 2＝4PO ·EO.22．（2019浙江省温州市，22，10分）（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，点E 在BC 边上，且CA=CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连结DE 并延长交AB 于点G ，连结CD ，CF ．（1）求证：四边形DCFG 是平行四边形；（2）当BE=4，CD=38AB 时，求⊙O 的直径长．【解题过程】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF 是⊙O 的直径.∵ AC=EC ，∴CF ⊥AE.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠AED=90°，即GD ⊥AE ，∴CF ∥DG. ∵ AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形DCFG 为平行四边形；（2）由CD=38AB ，可设CD=3x,AB=8x ，∴CD=FG=3x. ∵ ∠AOF=∠COD ，∴AF=CD=3x ，∴BG=8x-3x-3x=2x. ∵ GE ∥CF ，∴△BGE ∽△CDE ，∴23BE BG EG GF ==. 第22题图OGFE DCBA第22题图OGFE DCBA又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴O的直径长为23.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°，①求证：OD=12 OA.②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.(1)点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=12OB=12OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=32，△ABC面积的最大值=12×BC×AD=12×2OBsin60°×32；（2）如图2，连接OC，设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=12∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．三、解答题1. （2019·衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线。