第二章综合测试(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z [答案] C[解析] A 中的两函数的定义域不同，B 、D 中两函数的对应法则不同，C 中两函数的定义域和对应法则都相同，故选C ．2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝x －12D ．y ＝x 2，x ∈[0,1][答案] B[解析] 选项B 中，函数y ＝2x 2－3的定义域为R ，令f (x )＝2x 2－3，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴函数y ＝2x 2－3为偶函数．3．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 32C ．y ＝x 12D ．y ＝x －12[答案] D[解析] 函数y ＝x －12＝1x在(0，＋∞)上单调递减．4．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知函数f (x )的定义域为[－2,1]，函数g (x )＝f (x －1)2x ＋1，则g (x )的定义域为( )A ．⎝⎛⎦⎤－12，2 B ．(－1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0,2) D ．⎝⎛⎭⎫－12，2 [答案] A[解析] ∵函数f (x )的定义域为[－2,1]， ∴f (x －1)中，－2≤x －1≤1， ∴－1≤x ≤2，∴f (x －1)的定义域为[－1,2]． 又2x ＋1>0，∴x >－12，∴g (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－12，2. 5．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5x 2(x ≤5)f (x －2)(x >5)，则f (8)的值为( ) A ．－312 B ．－174 C ．174 D ．－76[答案] D[解析] f (8)＝f (8－2)＝f (6)＝f (6－2)＝f (4)＝4－5×42＝－76. 6．已知函数f (x )＝|x |－a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a ≤0[答案] B[解析] 当a <0时， f (x )＝|x |－a >0恒成立，∴函数f (x )无零点； 当a ＝0时， f (x )＝|x |的零点为0，故选B ．7．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的单调递增区间分别是( ) A ．(－∞，0]和(－∞，1] B ．(－∞，0]和[1，＋∞) C ．[0，＋∞)和(－∞，1] D ．[0，＋∞)和[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题主要考查函数单调区间的判断．函数f (x )＝|x |的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g (x )＝x (2－x )＝－(x －1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．故选C ．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由题意，得f (6)＝－f (4)＝f (2)＝－f (0)， ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (6)＝0.9．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为( )[答案] C[解析] 由题意，当0≤t <1时， f (t )＝t 2； 当1≤t ≤2时， f (t )＝1＋2(t －1)＝2t －1.即S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2，0≤t <12t －1，1≤t ≤2，函数图象前一段为抛物线，后一段为线段，故选C ．10．已知二次函数f (x )图象的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝6x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝6x 2－12x －2 C ．f (x )＝6x 2－12x ＋4 D ．f (x )＝6x 2－6x －2[答案] C[解析] ∵f (x )图象的顶点坐标为(1，－2)，∴设f (x )＝a (x －1)2－2(a ≠0)．又该图象过点(2,4)，∴a －2＝4，∴a ＝6， ∴f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4.11．已知一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( )[答案] D[解析] 选项A 中，一次函数中b <0，二次函数中b ＝0，故排除A ；选项B 、C 中一次函数中b >0；二次函数中b ＝0，故排除B 、C ，故选D ．12．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列3个命题： ①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．①③ C ．①② D ．①②③[答案] C[解析] c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，f (－x )＝－x |－x |－bx ＝－(x |x |＋bx )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，①正确；b ＝0，c >0时，函数f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0，∴方程f (x )＝0只有一个实数根，②正确；当b ＝－1，c ＝0时，方程f (x )＝0，即 x |x |－x ＝0，∴x (|x |－1)＝0， ∴x ＝0或|x |－1＝0，即x ＝0或x ＝±1，此时方程f (x )＝0， 有三个实数根，③错误，故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)函数y ＝2－|x |x －1的定义域为________________．[答案] [－2,1)∪(1,2][解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≥0x －1≠0，∴－2≤x <1或1<x ≤2.14．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知f (x )为一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则函数f (x )的解析式为____________．[答案] f (x )＝x ＋3[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝23a ＋2b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. ∴f (x )＝x ＋3.15．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (2x )<f (x ＋1)的实数x 的取值范围是______________．[答案] (1，＋∞)[解析] 由题意得2x >x ＋1，∴x >1.16．已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．[答案] 1[解析] 本题可转化为函数y ＝|x 2－4x ＋3|与y ＝a 的图象的交点个数问题．作出函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象，如图所示．由图象知，只有当a ＝1时，两函数图象才有三个交点．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知一次函数f (x )满足2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1.(1)求这个函数的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 2，求函数g (x )的零点． [解析] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝5a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.∴f (x )＝3x －2.(2)g (x )＝f (x )－x 2＝3x －2－x 2，令g (x )＝0，得3x －2－x 2＝0，∴x ＝1或x ＝2. ∴函数g (x )的零点是1和2.18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间．[解析] (1)设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－x ＋1. 又∵f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－x ＋1(x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， ⎣⎡⎭⎫12，＋∞.19．(本小题满分12分)若函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 的定义域和值域均为[－2，b ](b >－2)，求实数a 、b 的值．[解析] ∵函数f (x )的对称轴方程为x ＝－2， ∴函数f (x )在定义域[－2，b ](b >－2)上单调递增， ∴函数f (x )的最小值为f (－2)＝a －4＝－2， ∴a ＝2.函数f (x )的最大值为f (b )＝b 2＋4b ＋2＝b . ∴b 2＋3b ＋2＝0，∴b ＝－1或b ＝－2(舍去)， ∴b ＝－1.20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数)满足条件：①图象过原点；②f (1＋x )＝f (1－x )；③方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[－1,2]上的值域．[解析] (1)∵函数f (x )图象过原点，∴c ＝0， 又∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数图象的对称轴为x ＝1， ∴－b2a ＝1，即b ＝－2a .∴f (x )＝ax 2－2ax .又∵方程f (x )＝x 有等根， ∴方程ax 2－(2a ＋1)x ＝0有等根，即Δ＝[－(2a＋1)]2＝0，∴a ＝－12.∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)由(1)知，f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，∴当x ＝1时，f (x )取最大值12，当x ＝－1时，f (x )取最小值－32，∴函数f (x )在x ∈[－1,2]上的值域为[－32，12]．21．(本小题满分12分)关于x 的二次方程为x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1， ∵f (－1)＝2，f (0)＝2m ＋1， f (1)＝4m ＋2，f (2)＝6m ＋5. 由题意知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0f (0)<0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>02m ＋1<04m ＋2<06m ＋5>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ∈Rm <－12m <－12m >－56，∴－56<m <－12.22．(本小题满分14分)为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完)；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．(1)若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？(2)若a ＝60，在只开1个窗口的情况下，试求第n (n ∈N *且n ≤118)个购票者的等待时间t n 关于n 的函数．[解析] (1)设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋25b ＝50c ①a ＋15b ＝45c ②a ＋10b ≤10cx ③，由①②得，c ＝2b ，a ＝75b ，代入③得， 75b ＋10b ≤20bx ，∴x ≥174，即至少同时开5个窗口才能满足要求．(2)由a ＝60得，b ＝45，c ＝85，设第n 个人的等待时间为t n ，则由题意得，当n ≤60(n ∈N *)时，t n ＝n －185＝5(n －1)8； 当60<n ≤118(n ∈N *)时，设第n 个人是售票开始后第t min 来排队的，则n ＝60＋45t ，此时已有85t 人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n －85t ，∴t n ＝(n －85t )－185＝595－5n8，综上，t n 关于n 的函数为 t n＝⎩⎪⎨⎪⎧5(n －1)8 (n ≤60，n ∈N *)595－5n 8(60<n ≤118，n ∈N *).。