目录
向量的线性运算 (2)
模块一：向量基本概念 (2)
考点1：向量概念辨析 (2)
模块二：向量的加减运算 (3)
考点2：向量的加减法 (4)
模块三：三角形的三心 (6)
考点3：三角形的三心 (6)
课后作业： (7)
向量的线性运算
模块一：向量基本概念
一、向量的概念与表示
1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量．
2．向量的表示：
①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．
②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后；也可以用a，b来表示．
AB．
③线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||
3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的．
单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a平行于向量b，记作a∥b．
任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任意向量平行．
考点1：向量概念辨析
例1.（1）（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：
；③向量AB与BA相等，则所有正确命题的序号是()②若a，b都是单位向量，则a b
A．①B．③C．①③D．①②
（2）（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
模块二：向量的加减运算
二、向量的运算 1．向量的加法：
⑴ 三角形法则：AB a =，BC b =，a 和b 的和（或和向量）a b AB BC AC +=+=．
⑵ 平行四边形法则：
AB a =，AD b =，a b ，不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AC +=．
⑶ 多边形法则：
已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．
B
C
⑷ 向量的运算性质：
向量加法的交换律：a b b a +=+；向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++． 关于0：00a a a +=+=． 2．向量的减法：
⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -．00-=． ⑵ 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．AB OB OA =-．
3．数乘向量a λ：0λ>时，与a 方向相同；0λ<时，与a 方向相反；0λ=时，0a λ=；且
a a λλ=；
4．向量共线的条件
⑴ 平行向量基本定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． ⑵ 单位向量：a 的单位向量记作0a ，是指与a 方向相同，长度为1的向量，0a a a
=
．
考点2：向量的加减法
例2.（1）（2019•栖霞市模拟）在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点，且2BD CD =，则(AD =
)
A ．31
44AD AB AC =+ B ．13
44
AD AB AC =
+ C ．21
33
AD AB AC =
+ D ．12
33
AD AB AC =+
（2）（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，
BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y += )
d
A ．1
B ．
12 C ．13
D ．
32
（3）（2017春•安吉县校级月考）如图所示，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、
AC 的中点，则下面结论正确的是( )
A ．AE AD FA =+
B ．0DE AF +=
C ．0AB BC CA ++≠
D ．D
E D
F AD -=
（4）（2017•临汾二模）设D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、CA 、AB 的中点，则23(DA EB FC ++= ) A ．1
2
AD
B ．3
2
AD
C ．1
2
AC
D ．3
2
AC
（5）（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2
C ．1:3
D ．1:4
模块三：三角形的三心
已知ABC △，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，
⑴ 三角形的外心O ：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OA OB OC ==；
⑵ 三角形的内心I ：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0aIA bIB cIC ++=；
考点3：三角形的三心
例3.（1）（2017秋•重庆期末）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则( ) A ．P 、A 、C 三点共线 B ．P 、A 、B 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线 D ．以上均不正确
（2）（2019•江岸区校级模拟）过ABC ∆内一点M 任作一条直线l ，再分别过顶点A ，B ，
C 作l 的垂线，垂足分别为
D ，
E ，
F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的(
)
A ．垂心
B ．重心
C ．外心
D ．内心
（3）（2019春•金水区校级期中）已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，
BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则
1
2
(S S = ) A ．1
6
B ．13
C ．
23
D ．
34
（4）（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，
且满足3MC AM =，
则( )
A ．11
312GM AB AC =+
B ．11
312
GM AB AC =--
C ．17
312
GM AB AC =-+
D ．17
312
GM AB AC =
-
课后作业：
1.（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
2.（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y +=
) A ．1 B ．
1
2 C ．13
D ．
32
3.（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:4
4.（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,a b c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+，则实数(λ= )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
5.（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )
A ．11
312GM AB AC =+
B ．11
312
GM AB AC =--
C ．17
312
GM AB AC =-+
D ．17
312
GM AB AC =
-。