第四章 矩阵的特征值和特征向量例1 求下列矩阵的特征值与特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，并判断它能否相似对角化。
若能，求可逆阵P ，使∧=-AP P 1（对角阵）。
例2 已知三阶方阵A 的三个特征值为4,3,2-，则1-A 的特征值为_______，T A 的特征值为_______，*A 的特征值为_______，E A A 232+-的特征值为_______ 例3 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，则y x ,应满足条件_______ 例5 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10200002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x 例6 设n 阶方阵A 满足0232=+-I A A ，求A 的特征值 例7 已知向量T k )1,,1(=ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 例8 设A 为非零方阵，且0=m A (m 为某自然数)，证明：A 不能与对角阵相似 例9 设n 阶方阵A 满足01072=+-I A A ，求证：A 相似于一个对角矩阵结 论 总结1 n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和(即A 的逆trA )，它们的乘积等于A 的行列式A2 如果m λλ,,1Λ是方阵A 的特征值，m P P ,,1Λ是与之对应的特征向量，如m λλ,,1Λ互不相等时，m P P ,,1Λ线性无关3 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4 如果n 阶方阵A 与对角阵∧相似，则∧的主对角线元素就是A 的n 个特征值5 n 阶方阵A 与对角阵∧相似，即A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量6 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似，即A 可相似对角化7 实对称矩阵的特征值全为实数8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9 对实对称矩阵n n A A ⨯=，必存在正交矩阵P ，使∧=-AP P 1，其中∧是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵A 可逆的充要条件是A 的特征值全不为零习 题一、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则( )。
(a) ||1A = (b) A 的特征根都是1 (c) ()r A n = (d) A 一定是对称阵4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( )。
(a) 1200k k ==且 (b) 1200k k ≠≠且 (c) 120k k = (d) 1200k k ≠=且5. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是( )。
(a) 1||n A λ- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ6. 设2是非奇异阵A 的一个特征值,则211()3A -至少有一个特征值等于( )。
(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/47. 设n 阶方阵A 的每一行元素之和均为(0)a a ≠,则12A E -+有一特征值为( )。
(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)2a +18. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）。
(a)线性相关 (b)线性无关(c)两两相交 (d)其和仍是特征向量9. 下列说法不妥的是（ ） (a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A A 的特征值为3,2,1，则( )A ）8,4,2===z y x B) R z y x ∈==,4,1C) R z y x ∈=-=,2,2 D) 3,4,1===z y x11 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123022有一特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35，则)(=xA) 18- B) 16- C) 14- D) 12-12 已知矩阵A 的各列元素之和为3，则( )A) A 有一个特征值为3，并对应一个特征向量T )1,,1,1(ΛB) A 有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量T )1,,1,1(ΛC) 3不一定是A 的特征值 D) A 是否有特征值不能确定13 设A 是三阶矩阵,有特征值2,1,1-,则下列矩阵中可逆的是( )A) A I - B) A I + C) A I -2 D) A I +2二 填空题1 设A 为3阶矩阵，其特征值为2,1,3-，则A =________ 1-A 的特征值为________，E A A +-322的特征值为________2 如果二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231,127B x y A 相似，则 __________==y x 3 若n 阶可逆阵A 的每行元素之和是)0(≠a a ，则数________一定是E A +-12的特征值4 设三阶矩阵A 有3个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则______=A5 若E A =2，则A 的特征值为________6 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n ,,2,1Λ，则_______=+I A7 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101120101A 2≥n ，则_______21=--n n A A 8 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=610005102141A 则 ______lim =∞→n n A 三 解答题 1. 设三阶矩阵A 的特征值为 3,2,1321===λλλ，对应的特征向量依次为： T )1,1,1(1=ξ，T )4,2,1(2=ξ，T )2,3,1(3=ξ，又向量T )3,1,1(=β1) 将β 用321,,ξξξ线性表示 2) 求βnA (n 为自然数) 2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=06303012x A 有3个线性无关的特征向量，求100A3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 求A 的特征值与对应的特征向量，A 是否对角阵相似。
若相似，写出使∧=-AP P 1的矩阵P 及对角阵∧，并计算TA )2,3,1(10，5A 4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20135212b A ，已知1-=A ，A 的伴随矩阵*A 的特征值0λ对应的特征向量T )1,1,1(--=α，求0λ和b 的值四、证明题1设α为n 维非零列向量，T T n A a a a ααα==,),,,(21Λ证明：1） kA A =2 (k 为某常数) 2) α是A 的一个特征向量。
3) A 相似于对角阵。
2 设n 阶方阵A 有n 个对应于特征值λ的线性无关的特征向量，则E A λ=。
3 设n 阶方阵A 的每行元素之和都为常数a ，求证：1) a 为A 的一个特征值； 2) 对于任意自然数m ，m A 的每行元素之和都为m a4 设三阶方阵A 的三个特征值 321,,λλλ互异，分别对应于特征向量321,,ααα 证明：32121,ααααα+++ 都不是A 的特征向量。
5 设A ，B 为n 阶方阵，证明：BA AB ,都有相同的特征值。
6 设21,λλ是A 的两个不同的特征值， ξ是对应于1λ的特征向量，证明： ξ不是2λ的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。
答 案一 10B 11B 12 A 13 D二、1 6- 1-A 的特征值为：21,1,31- ；E A A +-322的特征值为：3,6,10；2. 1,2-=-=y x ；3. 12+a ；4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 5. 1± 6. )!1(+n 7. 0 8. 0三1 32122ξξξβ+-=， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=+++++23111322322322n n n n n n n A β2 ;3636330340132321341100100101100100100101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅--⋅--⋅+3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100010005101011111P ,5215215223110101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯-⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3110423110413110413110413110423110413110413110413110425A 4 3,10-==b λ四、提示 1 略 2 略3 略 4 略 5 若AB 有特征值0，则0=AB ，从而0=BA 即BA 也有0为其特征值，若BA 有0≠λ为其特征值，令相应的特征向量为)0(≠ξ 则λξξ=BA ，两边右乘A ，有)()(ξλξA A AB = 则必有0≠=ξηA （否则，0=λξ从而0=λ，与假设矛盾），从而有ληη=AB ，即λ也是AB 的特征值，从而AB 与BA 的特征值一一对应，从而AB 与BA 有相似的特征值。
6 反证法。