高等数学第一章测试卷（B ）
一、选择题。

（每题4分，共20分）
1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞
→（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在
2.设函数n
n x x x f 211lim
)(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x
x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ）
A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛
B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛
C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛
D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛
5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞
→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立
C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在
D. 极限n n n c b ∞
→lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分）
6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+∀，则=)(x f ____________。

7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡→x x x 2lim 0__________。

8.若1])1(1[lim 0=--→x
x e a x x ，则实数=a ___________。

9.极限=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x
x b x a x x ))((lim 2
___________。

10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00sin )()(x A
x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

三、计算题（每题8分，共24分）
11.求极限 3
sin 1tan 1lim
x x x x +-+∞→
12.求极限 x x x 20)]1ln(1[lim ++→
13.求极限 2
20)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→
四、解答题（共56分）
14.（本小题满分12分）
确定常数b a ,的值，使函数⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-=>+++++=01sin 100)21(ln 12)(2221x x x x a
x b x x e e x f x x ，在0=x 处连续.
15.（本小题满分14分） 设,0,)2(2lim )(2≥++=∞→x x x x f n n n
n 求)(x f 的显式表达式.
16. （本小题满分14分）
设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线1=x 对称，对任意]2
1
,0[,21∈x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，且0)1(>=a f .
（1）求)41(),21(f f
（2）证明：)(x f 是周期函数
（3）记)212(n
n f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→.
17.（本小题满分16分） 设),3,2,1()3(,3011⋯=-=
<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限.
参考答案
一、选择题。

1. D
2. B
3. B
4. B
5. D
二、填空题。

6.)22(312-+x x
7. 2
8. 2
9. b a e -
10. a b +
三、计算题。

11. 4
1 12. 2e
13. 3-
四、解答题。

14.3
5,31-==b a 15.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤≤=22
21101)(2x x x x x x f （提示：运用夹逼准则）
16.（1）4
1
21
a a （2）)2()(),()(x f x f x f x f -=-= )2()(x f x f -=-∴，)(x f ∴是周期为2的函数。

（3）0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a n
a n n n 17.先用数学归纳法证}{n x 有界，再证明数列是单调增加的，2
3lim =∞→n n x。