拉姆齐模型
家庭行为：
总人口：L 人口增长率：n 家庭数量：H 家庭初始资本量：K （0）/H
家庭效用函数：
()[]()dt H
t L t C u e
U t t
⎰
∞
=-=0
ρ （1）
C （t ）：t 时刻家庭每个成员的消费 u ：瞬时效用函数，L （t ）/H ：家庭成员数 ρ：贴现率
瞬时效用函数（相对风险厌恶不变的函数（CRRA ））：
()()()θ
θ
-=
-11t C t C u θ＞0，ρ-n-（1-θ）g ＞0 （2） 相对风险厌恶的系数：
()()θ=-C u C Cu '/'
'
厂商行为：
厂商生产函数：Y=F （K ，AL ） A 以速率g 外生的增长
资本的边际产品：)(/),('k f K AL K F =∂∂，()∙f 是生产函数的紧致形式 市场竞争性的，不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，即真
实利率为：
()()()t k f t r '=
有效劳动的边际产品：()AL AL K F ∂∂/,=()()()())('t k f t k t k f -，
即等于每单位有效劳动的工资：w(t)=
()()()())('t k f t k t k f - （3）
家庭预算约束：
家庭的终生消费的贴现值不能超过其初始财富与其终生劳动收入的现值之和 考虑r 可随时间变化，定义()()τττ
d r t R t
⎰==
(4)
在0时刻投资一单位产出品，在t 时刻获得产品()t R e
在t 时刻的一单位产品的价值用0时刻的产出表示为()
t R e
-
每个家庭成员数：L （t ）/H
t 时刻的劳动总收入是W （t ）L （t ）/H t 时刻的消费支出是C （t ）L （t ）/H 家庭初始资本：K （0）/H
家庭预算约束：
()
()()()()()()⎰⎰∞=-∞
=-+≤0
0t t R t t R dt H t L t W e H K dt H t L t C e
(5) 我们可以用家庭的资本持有量的极限形式表示预算约束
将（5）式各项移到右边，化简得：()()()()[]()⎰∞
=-≥-+0
00t t R dt H t L t C t W e H K （6）
我们可以写出从t=0到t=∞的及积分形式作为一种极限，（6）式等价于：
()()
()()[]()00lim 0≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎰=-∞→s
t t R s dt H t L t C t W e H K （7）
家庭最大化问题：
考虑到技术进步，c （t ）为有效劳动的消费
()()gt e A t A 0=，()()()t c t A t C =,()()()()H L A k K /0000=
由（2）式：
()()()()()[]()[]()
()
()()θ
θ
θ
θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
-=-=
-=
-=-------1010111111111t c e A t c e A t c t A t C t C u gt gt （8）
将（8）式代入（1）得： a ．家庭效用函数：
()()()()()()()
()()()()dt t c e B
dt t c e e H L A dt H e L t c e A e
dt H
t L t C e
U t t
t gt t nt t gt t
t t
⎰
⎰⎰
⎰
∞
=--∞
=----∞
=----∞
=---=-=⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-=
-=
10
1110
1110
111000101θ
θ
θθ
θ
βθ
θρθ
θ
θθρθ
ρ （9）
其中，()()H L A B /001θ
-=，()g n θρβ---=1
b ．家庭预算约束
()()()()()()()()
()()()⎰⎰∞
=-∞
=-+≤0
0000t t R t t R dt H t L t A t w e H L A k dt H t L t A t c e （10）
其中，家庭的有效劳动数量是A （t ）L （t ）/H ，A （t ）L （t ）等于
()()()t g n e L A +00 （11）
将（11）代入（10）得到：
()()()()()()()⎰
⎰
∞
=+-∞
=+-+≤0
00t t
g n t R t t g n t R dt e t w e k dt e t c e （12） 求家庭最大化，由（9）和（12）式构造拉格朗日函数：
()()()()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=Φ⎰⎰⎰∞=∞
=+-+-∞
=--000101t t t
g n t R t g n t R t t dt t c e e dt t w e e k dt t c e B λθθβ （13）
其中，()g n θρβ---=1
在时刻t ，家庭消费c （t ），对于每一个c （t ），一阶条件是：
()
()()t g n t R t
e e t c Be
+---=λθ
β （14）
对（14）式两边取对数：
()()()()()t g n d r t g n t R t c t B t
++-=++-=--⎰=0
ln ln ln ln τττλλθβ （15）
利用了()()τττ
d r t R t
⎰==
两边求关于t 的导数：
()()
()()g n t r t c t c ++-=--∙
θ
β （16） 由（16）式得到：
()()()()θ
θρθβg
t r g n t r t c t c --=---=∙
（17）
利用了()g n θρβ---=1的定义。