解： f ( x, y )
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
1 2 1 1 1 1 D(Y ) E (Y 2 ) [ E (Y )]2 2 3 18 6 3 18
2
2
XY
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
2 0 x 1, 0 y x 其他 0 x x x 1 1 1 2 1 1 E ( X ) dx 2 xdy E (Y ) dx 2 ydy E ( XY ) dx 2 xydy 0 0 0 0 0 0 3 3 4 x x 1 1 1 1 E ( X 2 ) dx 2 x 2 dy E (Y 2 ) dx 2 y 2 dy 0 0 0 0 2 6 1 2 1 1 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 4 3 3 36
(1) E ( Z ) E (
1 2
X Y E ( X ) E (Y ) 1 ) ； 3 2 3 2 3
X Y D( X ) D(Y ) 32 42 关于方差，错解： D ( Z ) D ( ) 2 5（错因：没有说独立！ 3 2 32 2 9 4
不能用公式） 正解： D ( Z ) D (
x
, 2 求：(1) 系数 k ； 其它.



2

2 2 k cos xdx 2k cos xdx 2k sin x 0 2k 1 2 0


k
1 2
1 1 1 (2) P{0 x } 2 cos xdx 0 dx sin x 02 . 0 2 2 2 2
x 0,
0 x 1, 求： (1) 系数 k ； (2)
x 1.
k 1
(2) P{0.3 x 1.3} F (1.3) F (0.3) 1 0.32 0.91 2 x 0 x 1 (3) f ( x) 其他 0
8. 六大分布函数的期望和方差，见课本 P113-114 表格，另外; 填满最后一列！ 分布 (0-1)分布 二项分布 B (n, p ) 泊松分布 ( ) 均匀分布 U (a, b) 指数分布 E ( ) 正态分布 N ( , )
0 x 1, x, 2 12．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 2 x, 1 x 2, 求 E ( X ), E ( X ) ． 0, 其它，
解： E ( X )



xf ( x)dx x xdx x (2 x)dx 1
解： P ( AB ) P ( A) P ( B | A)
P( A B) P( A) P ( B) P( AB)
1 1 1 1 4 6 12 3
k cos x, 6．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) 0,
(2) P0 X ； 解： (1)
21. 设 X 1 , X 2 , , X 8 和 Y1 , Y2 , , Y10 分别来自正态总体 N (1,4) 和 N (2,5) 的样本， 且相互 独立， S1 和 S 2 分别为两个样本的样本方差，则统计量 A. F (5, 4) B. F (4,5) C. F (7,9)
2 2
0 1
1
2
E( X 2 )


x 2 f ( x)dx x 2 xdx x 2 (2 x)dx
0 1
1
2
7 6
13. 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律
X
1 2
Y
1 0
2
3
1 6
1 6 1 6
1 12 1 6
3 求 P{X >Y } ，和 P{X +Y =4} .
1 12
1 6
０
14. 设二维随机变量 ( X , Y ) N ( 1 , 1 , 2 , 2 , ) ，则随机变量 X
2 2
，并 条件； 参数 又
且Y 称为
； 参数 0 是 X 和 Y 相互独立的 ，用来描述随机变量 X 和 Y 之间的相互关系.
15．设二维随机变量 ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布，其中 G {( x, y ) | 0 x 1,0 y x} ， 试求相关系数 XY ．
5S12 服从( C )分布 4S22
D. F (9,7)
22. 设元件寿命 X 服从正态分布 N ( , ) ，其中参数 , 都是未知的，现随机抽取 6 个
2 2
元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498, 1502, 1578, 1366, 1454, 1650，试求总 体均值 和方差 的矩估计值，以及 和方差 的无偏估计值.
2 2
下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
g1
X1 X 2 X 3 X 4 X ; g 2 X 1 ; g3 4 ; g 4 min{ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 } 4
19. 设总体 X N (0,1) ， X 1 , X 2 , , X n 是取自 X 的样本， X 为样本均值， S 为样本标准 差，则( C ) B. nX N (0,1) C.
方法一： P (C ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 3. 盒子中装有同型号的电子元件 100 个，其中有 4 个是次品．从盒子中任取 4 个，求： (1) 4 个全是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率. 解： (1) p
11．设随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布，且 E ( X ) 2.4 ， D( X ) 1.44 ，求参数
n, p .
解： E ( X ) np 2.4 ， D( X ) np (1 p ) 1.44 ， 两式相除，得 1 p
D( X ) 1.44 0.6 ，故 p 0.4 ， n 6 . E ( X ) 2.4
X Y X Y X Y ) D( ) D( ) 2Cov( , ) 3 2 3 2 3 2 1 1 1 2 D( X ) 2 D(Y ) Cov( X , Y ) 1 4 2 3 . 3 2 3
(2) Cov( X , X ) D( X ) 9 .
D ( X Y ) D ( X ) D(Y ) 2Cov( X , Y ) D( X ) D(Y ) 2 XY D ( X ) D(Y )
17. 已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,3 ) 和 N (0, 4 ) ，且 X 与 Y 的相关系数
Cov( X , Z ) Cov( X ,
X Y 1 1 ) Cov( X , X ) Cov( X , Y ) 3 3 0 3 2 3 2
XZ
Cov( X , Z ) 0. D( X ) D( Z )
18. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是取自正态总体 N ( , ) 的样本，其中 为已知， 未知，指出
2
数学期望 E ( X )
方差 D ( X )
E( X 2 )
9. 某车间生产的圆盘其直径在区间 (a, b) 内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．
1 解：圆盘直径的概率密度为： f ( x) b a 0
a xb
其他
圆盘面积的数学期望为：
b x 1 E ( S ) ( ) 2 f ( x)dx x 2 dx (a 2 ab b 2 ) a ba 2、协方差公式
E (aX b) aE ( X ) b ；
Cov(aX , bY ) abCov( X , Y ) ；
D(aX b) a 2 D( X ) Cov( X 1 X 2 , Y ) Cov( X 1 , Y ) Cov( X 2 , Y )
0, 2 7 ．设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) kx 1,
P0.3 X 1.3；(3) 概率密度 f ( x) ．
解： (1) lim F ( x) lim kx k lim F ( x) 1
2 x 1 x 1 x 1
2
2
XY ，设 Z
1 2
X Y ，求： 3 2
(1) Z 的数学期望 E ( Z ) 和方差 D( Z ) ；
(2) X 与 Z 的相关系数 XZ . 解： E ( X ) 1, D( X ) 9 ； E (Y ) 0, D(Y ) 16 ；
XY , Cov( X , Y ) XY D( X ) D(Y ) 6 .
4 C96 0.8472 4 C100
(2) p
3 1 C96 C4 0.1458 4 C100
4．某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率． 解： （1） p P 10 (3) C10 (0.6) (0.4) 0.0425
1 1 ， P ( B ) ，试分别在下列三种情况下求 P ( A B ) 的值： 3 2 1 (1) A, B 独立； (2) A, B 互斥； (3) A B ； (4) P ( AB) ． 8
1．设 P ( A) 解： P ( A B) P( A) P ( B ) P ( A) P ( B) (1) A, B 独立，则 P( A B ) P ( A) P( B) (2) A, B 互斥，则 P ( A B ) P ( A) P ( B ) (3) A B ，则 P ( A B) P( A) (4) 直接算