概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。

设每次试验成功的概率为)10(<<p p（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时称X 服从参数为p 的几何分布。

求X 的分布律。

（2） 将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服从参数为r 、p 的巴斯卡分布。

求Y 的分布律。

解：（1）（k-1次未成功，最后一次成功）{},......2,1,)1(1=−==−k p p k X P k （2） {},......1,,)1(11+=−==−−−r r k p p C k X P rk r r k4、下列表中列出的是否是某随机变量的分布律？ X 1 2 3 P k 0.4 0.5 0.1 X -1 0 1 P k 0.2 0.3 0.4 解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为15、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k Nak X P .....,2,1,===试确定常数a （2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==k b k X P k试确定常数b （3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!>=⋅==λλk k c k X P k为常数，试确定常数c 解：（1）{}111====∑∑==a Nak X P Nk Nk ， 1=∴a （2）{}12321323211==−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==∑∑∞=∞=b bb k X P k kk ， 21=∴b （3）{}1!==⋅==∑∑∞=∞=λλe c k c k X P k kk ， λ−=∴e c6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15===k kk X P 其分布函数为，试求：)(x F （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ， （2）{}21≤≤X P ， （3）⎟⎠⎞⎜⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521=+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<X P X P X P 51152151=+=（2）{}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 51152151=+= （3）⎟⎠⎞⎜⎝⎛51F 051=⎭⎫⎩⎨⎧≤=X P7、一大楼装有5个同类型的供水设备。

调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为，求在同一时刻1.0（1） 恰有两个设备被使用的概率； （2） 至少有1个设备被使用的概率； （3） 至多有3个设备被使用的概率。

解：设X 表示设备被使用的个数则)1.0,5(~b X （1）{}()()0729.09.01.023225===C X P （2）{}{}4095.09.010115=−==−=≥X P x p （3）{}{}{}==−=−=≤5413X P X P x p ()()()99954.01.09.01.015551445=−−C C 8、甲、乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。

从中挑4杯便能将甲种酒全部挑出，算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为:701148=C (2)令试验10次中成功次数为X ，则)701,10(~b X ，4733101016.3)7069()701(}3{−×≈××==C X P 显然{}3=X 是一小概率事根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为3的泊松分布。

问在月初进货时要进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999? 解：设X 表示当月销售量，则要使999.0!303=∑=−xk kk e 查表得001.0999.01000292.0!3113=−<=∑+∞=−k kk e 所以在月初进货时要进此种商品10件，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999。

10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。

求一年中该地区受台风袭击次数为3~5的概率。

解：设X 表示每年袭击某地的台风次数 {}{}{}2553≤−≤=≤≤X P X P X P ={}{}()3161≥−−≥−X P X P ={}(){}63≥−≥X P X P=−∑+∞=−34!4k kk e ∑+∞=−64!4k kk e =0.76189-0.21487=0.547027 所以一年中该地区受台风袭击次数为3~5的概率为0.54702711、有10台机床，每台发生故障的概率为0.08, 而10台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。

问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。

解：随机变量X 示发生故障的机床的台数则 )08.0,10(~B X 设配备n 个维修工人()100<≤n 则“有故障而不能及时排除”事件为{}n X >∑+=−=>1011010)92.0()08.0(}{n k kk k Cn X P )8.0(!1=≈∑+∞+=−λλλn k k k e 查表2,31==+n n 时 {}05.00474.02<=>X P 时1=n {}05.0551.01>=>X P 所以至少要配备2个维修工人12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。

设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。

在某天的该时间内有3000辆汽车，问出事故的次数不小于2的概率为多少？ 解：设出事故的次数为X，所求为{}3≥X P 3.00001.03000=×==np λ{}3≥X P =0036.0!3.033.0=∑+∞=−k k k e所以出事故的次数不小于2的概率为0.0036(1)设X 服从二项分布，其分布律为{}()kn kk np p C k X P −−==1K=0，1，2，……n，问K 取何值时{}k X P =最大？（2）设X 服从泊松分布，其分布率为{}!k e k X p k λλ−==，k=0，1，2…… 问K 取何值时最大？{k X P =}（1） 解：{}{}=−===1k X P k X P M ()()11111+−−−−−−k n k k n kn k k n P P C p P C()=+−=kq P k n 1()kqkqP k n kq −+−+1()()kqk q p P n +−++=111,)1(>+<∴M p n k 时1,)1(=+=M p n k 时，此时{}{}1−===k X P k X P 1,)1(<+>M p n k 时所以当()⎩⎨⎧++++−+=为非整数），若（）（为整数若p n p n p n p n p n k 11)1(,)1(,11（2）对于泊松分布)(λP ，由kk P k P λλλ=−);1();(…,...3,2=k可知 当λ<k 时，);();1(λλk P k P <− 当λ>k 时，),();1(λλk P k P >− 当λ=k 时，P P =),(λλ);1(λλ−故可得：泊松分布的通项);(λk P 当由0变到k []λ时，单调上升，并且在[]λ=k 时，达到最大值[]);(λλP ；当超过k λ继续变动时，);(λk P 单调下降，即[]⎩⎨⎧−=为非整数若为整数若λλλλλ,,1,k 15、写出泊松分布和二项分布的分布函数16、设连续型随机变量X 的分布函数为 求(1)常数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F A (2)概率密度函数 (3){}2/1<X P ；{}2/3>X P ；。

{}20≤≤X P 解法一：由于连续型随机变量X 的分布函数是连续的A Ax x F F x x ====∴⎯→⎯⎯→⎯211lim )(lim 11）（⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<==1010200)(')(x x xx X F x f 4/12)(}2/1{2/102/1∫∫===<∞−xdx dx x f X P 或{}()4/12/12/1==<F X P{}00)(2/32/32/3===>∫∫∞∞dx dx x f X P 或{}{}011)2/3(12/312/3=−=−=≤−=>F X P X P {}∫∫∫=+==≤≤1212102)(20dx xdx dx x f X P 或{}101)0()2(20=−=−=≤≤F F X P 解法二：⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<==1010200)(')(x x Axx X F x f 12)(11=∴===∫∫+∞∞−A A Axdx dx x f 由其它同解法一 17、已知随机变量X 的概率密度为:⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤<=其它021210)(x xx x x f 求 (1)分布函数)(X F (2) {}{}{}2.12.0,3.1,5.0<<><X P X P X P 解: (1)∫∞−=≤=xdx x f x X P x F )(}{)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+−+≤<−−=−+≤<=≤=∫∫∫∫∫∫210)1(2112/2)2(100010212121022x dx dx x xdx x x x dx x xdx x xdx x x x x x (2)解法一{}8/1)5.0(5.0==<F X P {}⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−×−=−=>123.13.121)3.1(13.12F X P =0。