图２224C1B 1A 1C BA 2021年高三考前热身训练试题数学理第一部分选择题（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数满足. 设，则( )A ．1B ．2C ．3D ．42.为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图1，则其回归方程可能是（ ） A . B.C. D. 3.已知集合22{(,)|2},{(,)|2}A x y x y B x y x y =+==+≤，设，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件4．如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( ) A ．16 B ． C ． D ．5．如图3，的边OM 上有四点，ON 上有三点，则以为顶点的三角形个数为（ ） A ．30 B ．42 C ．54 D ． 566. 定义某种运算,运算原理如图4所示,则式子:的值是（ ）A. 5B. 6C. 7 D . 8图1MNO A1A2A3A4B1B2B3图3 输出×(+1)输出×(–1)开始 输入两个数和 是否7．为定义在上的可导函数，且对于恒成立,e 为自然对数的底， 则（ ） A ． B ． C ． D ． 8．如下图：（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是（ ）A ．① ③ B. ①④ C. ② ③ D. ②④第二部分非选择题（110分）二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分。

（一）必做题（9～13题）9．已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则= . 10.已知函数的部分图像如图所示，若在矩形OACD 内随机取一点，则该点落在图中阴影部分的概率是________.11．已知定义在R 上的奇函数满足时，，若，则= 。

12.若点P 在曲线C 1：上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是 ．13.一科研人员研究、两种菌.已知在任何时刻、两种菌的个数乘积为定值.为便于研究,科研人员用来记录菌个数的资料,其中为菌的个数,则下列说法： ①；②若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多了10个；③假设科研人员将菌的个数控制为5万个,则此时.其中正确的序号为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、15题选做一题，若两题都作答，只按第一题评分.14.（极坐标、参数方程选做题）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为．则经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角．．坐标方程．．．．为_____________． 15、（几何证明选讲选做题）如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O上过点P 的切线PA 相交于点A ，若切线AP 长为，则圆O 的直径长为 。

(1)(2)(3)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量与共线，其中A 是的内角。

（1） 求角A 的大小；（2）若BC=2，求面积S 的最大值．17、（本小题满分12分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B 两个项目可供选择：111投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0< p <1)和1 p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X(次)与X 2的关系如下表所示：（2）求X 2的分布列；（3）若E(X 1)< E(X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2， BC =AD =1，CD =．（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．19（本小题满分14分）如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点Q 为抛物线上一动点，的最小值为5. （1）求抛物线方程；（2）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别是该抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点．求直线的斜率的取值范围并证明=． 20．（本小题满分14分）PABCD QM已知定义在上的函数和数列满足下列条件： ，，当且时，且． 其中均为非零常数．（1）若数列是等差数列，求的值； （2）令，若，求数列的通项公式；（3）试研究数列为等比数列的条件，并证明你的结论．21.（本小题共14分）定义：设函数y=f(x)在（a,b ）内可导，若函数y=f(x) 在(a,b)内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f(x)是（a,b ）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）.已知函数（1）证明函数是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数的图像； (2)对x 1，x 2∈R +，根据所画下凸函数图像特征指出与的大小关系； （3）当n 为正整数时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．记，若，证明： ．广东实验中学xx 届高三考前热身训练数学（理科）试题参考答案1解析：可表示以（0，2）为圆心；以1为半径的圆，由圆的几何意义易知m=3,n=1,故选C.2. 解析：由散点图可知商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）具有负线性相关的关系，易知选B.3.解析：集合A 是圆上的点构成的集合，圆与直线相切并位于其左下方，由平面区域与逻辑知识易得选A. 4． 解析：其侧视图是长宽为4的矩形，故选D.5．解析:42131414231324343538=++=--C C C C C C C C C ，故选B.6. 解析：8)13(2)11(23212=-⨯++⨯=⊗+⊗=，故选D.7．解析答案： A 8．解析答案： C 9. 解析：14,70......2832011201211=+=+∴=+++a a a a a a a10． 解析：的周期为图中阴影部分的面积==，矩形OACD 故该点落在图中阴影部分的概率是11．解析：是一个以8为周期的函数，故012.解析：由双曲线定义可得：（|PQ |－| PR | ）max =10)1(132min max =--+=-PC PC PR PQ13.解析：③14.解析：两个圆的直角坐标方程为，所求直线的方程为. 15、解析：P DMz ，，易得为等腰三角形，且0060M 2POA 30M =∠=∠=∠∆POM 2OP 32AP 90APO 0===∠，可得，又,所以圆O 的直径长为4.16解析：17、解：（1）由题意得：解得：.……3分（2）X 2 的可能取值为.…………4分()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，…………5分()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，…………7分.…………8分 所以X 2的分布列为:X 24.1211.7620.40P p (1-p) p 2+(1-p)2p (1-p)（3）由（2）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)，所以.所以.当选择投资B 项目时，的取值范围是.…12分18解：证明：（1）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．∵BC ∥AD 且BC =AD ，即BCAQ ． (2)分∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA ……3分∵ MN 平面MQB ，PA 平面MQB ，∴ PA // 平面MBQ ．……4分（2）∵AD // BC ，BC =AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．……6分又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．……7分∵BQ 平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．……8分另证：AD // BC ，BC =AD ，Q 为AD 的中点 ∴ BC // DQ 且BC = DQ ， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．……5分 ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ．……7分 ∵ AD 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．……8分（2） 解法一:由M 作PQ 的平行线交CQ 于E 点，由E 点作BC 的平行线交BQ 于F ，连接MF ，则二面角M -BQ -C 的平面角为=30°……10分……11分 ……12分 ，∴ ．……14分解法二：∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．（不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．……9分 则平面BQC 的法向量为；……10分 ，，，．……11分 设，则，，∵，∴ ，∴11t x t y z t⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪+⎩ …12分在平面MBQ 中，，，∴ 平面MBQ 法向量为．……13分∵二面角M -BQ -C 为30°， ，∴ ．……14分19解：（1）设抛物线的准线为，过Q 作，过R 作，由抛物线定义知，…………1分 (折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号. …3分 由题意知,故抛物线的方程为：…………5分（3） 由已知条件可知直线的斜率存在且不为0，设直线，…………6分 则，……①…………7分依题意，有或；…………8分 由，…………9分所以抛物线在处的切线的方程为 ：，即．…………10分 令，得．…………11分 同理，得．…………12分注意到、是方程①的两个实根，故，即，…………13分从而有，因此，．…………14分 20．解：（1）由已知，，得 ……………1分由数列是等差数列，得 ……………2分 所以，，，得．………………………3分 （2）由，当时，且可得： 当时，)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a k a a k a f a f n n n n n ……………4分所以，当时，，………………………5分因此，数列是一个公比为的等比数列其通项．………………6分（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当时，数列是等差数列， 所以是数列为等比数列的必要条件． ………………………………7分 解答二：写出充分条件，如或等，并证明 ……………… 7分 解答三：是等比数列的充要条件是……………………7分 充分性证明： 若，则由已知，得，所以，是等比数列．………………………8分 必要性证明：若是等比数列，由（2）知，111212121)()()(a a a a a a a a b b b n n n n -=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++--，．……………………9分 当时，．上式对也成立，所以，数列的通项公式为： ．………………10分所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，．…………………………………11分 当时，． 上式对也成立，所以， ……………………12分所以，． …………………………………………13分 即，等式对于任意实数均成立．所以，．…………14分21. 解：（1）函数的定义域为，故函数是定义域内的下凸函数, .......2分 易知函数在 .......3分 故其图像如下图所示. …………………….4分 （2）由下凸函数的图像特征可知： 故（当且仅当时取=号）………………….6分 （3）()[135(21)][(2)(4)(6)(2)],nnS n N N N N =++++-+++++，.......7分32424 (4)4)(121+=++++=∴--n n n n S ．.......8分，故证明即证.......9分（证法一）数学归纳法ⅰ)当时，由（2）知命题成立． ⅱ）假设当( k ∈N *)时命题成立， 即若，则．.......10分 当时， ，，…，，满足 ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（2）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 ，命题成立．所以当 时命题成立．.......13分由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若，则 ．即有 ． ………14分 （证法二）若， 那么由（2）可得1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- (10)分1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++………11分1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-………12分12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-………13分121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---．即有 ． ………14分24632 6038 怸39004 985C 顜34455 8697 蚗34008 84D8 蓘29990 7526 甦z26587 67DB 柛'q S33115 815B 腛o。