来曲线的性质，如：对圆 x21 + x22 = 1，令
( ) ( )( )
x1 = 1 0 y1 ,
x2
0 0 y2
得 y21 = 1 为两直线.
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把方程 (1) 化成标准方程. 在二次曲面的研究中也有.... .... .... . .
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二次型的代数观点
(1) 的左端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看，所谓化标 准方程就是用变量的线性替换 (2) 化简一个二次齐次多项式，使 它只含有平方项. 二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数 学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到. 这一章就是来介 绍它的一些基本性质.
二次型的几何背景
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心 二次曲线的一般方程是
ax2 + 2bxy + cy2 = f
(1)
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角 度 θ，作转抽 (反时针方向转轴)
x = x′ cos θ − y′ sin θ,
(2) y = x′ sin θ + y′ cos θ,
X = CY
称为变量 x1, x2, · · · , xn 到变量 y1, y2, · · · , yn 的一个非退化线性 替换.
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非退化线性替换
n 元二次型 X′AX 经过非退化线性替换 X = CY 变成
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矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
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二次型的矩阵表示
令

X = xx...12 ,
(6)
xn
则二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 可以写成
f(x1, x2, · · · , xn) = X′AX
A2 = (C1C2)′A(C1C2)
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矩阵的合同
因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩 阵是合同的. 这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来， 为以下的讨论提供了有利的工具.
是非退化时，由上面的关系即得
Y = C−1X
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原. 这样就使我们从 所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
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非退化线性替换的几何意义
另一方面，若不可逆线性替换，则由变换后的曲线性质看不出原
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二次型的概念
例 x21 + x1x2 + 3x1x3 + 2x22 + 4x2x3 + 3x23; x2 + 4y2 + z2 − 4xy − 8xz − 4yz; x2 − y2; x1x2 + x1x3 − 3x2x3.
都是有理数域上的二次型.
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矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE； 2 对称性：由 B = C′AC 即得 A = (C−1)′BC−1； 3 传递性：由 A1 = C′1AC1 和 A2 = C′2A1C2 即得
其中 A 是二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵.
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非退化线性替换
令

Y = yy...12
yn
设 C 是数域 P 上的一个 n 级可逆矩阵，下述关系式
+········· + annx2n
(3)
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二次型的概念
(3) 式也可以写成
f(x1, x2, · · · , xn) = a11x21 + a12x1x2 + a13x1x3 + · · · + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + a23x2x3 + · · · + a2nx2xn
+·········
+ an1xnx1 + an2xnx2 + an3xnx3 + · · · + annx2n
∑n ∑n
=
aijxixj
i=1 j=1
(4)
其中 aji = aij, 1 ≤ i, j ≤ n.
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矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE； 2 对称性：由 B = C′AC 即得 A = (C−1)′BC−1；
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二次型的等价
定义 数域 P 上两个 n 元二次型 X′AX 与 Y′BY，如果存在一个非退 化线性替换 X = CY，把 X′AX 变成 Y′BY，则称二次型 X′AX 与 Y′BY 等价，记作 X′AX ∼= Y′BY.
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(CY)′A(CY) = Y′C′ACY
(7)
记 B = C′AC，则 (7) 可写成 Y′BY，这是变量 y1, y2, · · · , yn 的 一个二次型. 由于
B′ = (C′AC)′ = C′A′(C′)′ = C′AC
因此 B 也是对称矩阵. 于是二次型 Y′BY 的矩阵正好是 B.
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非退化线性替换的几何意义
最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非 退化的. 从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非 退化的. 一般地，当线性替换
X = CY
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二次型的概念
定义 系数在数域 P 中的 n 个变量 x1, x2, · · · , xn 的一个二次齐次多项 式，称为数域 P 上的一个 n 元二次型，它的一般形式是
f(x1, x2, · · · , xn) = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + · · · + 2a2nx2xn
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE；
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二次型的矩阵表示
把 (4) 中的系数排成一个 n 级矩阵 A(注意 aji = aij)


A = aa11... 12
a12
a22 ...
a13
a23 ...
··· ···
a1n
a2n ...

(5)
a1n a2n a3n · · · ann
把 A 称为二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵. 它是对称矩阵. 显然， 二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵是惟一的；它的主对角元依次是 x21, x22, · · · , x2n 的系数，它的 (i, j)-元是 xixj 的系数的一半，其中 i ̸= j.