f x Ax (Cy) A(Cy) y (C AC) y y By
T T T T T
其中
B C T AC
且
BT (C T AC )T C T AC B
即 B 是对称矩阵．
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定义5.6 设A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在 n 阶可逆矩阵 C， 使得 C T AC B, 则称 A 合同于 B，记作 A ~ B.
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为n元二次型，简称二次型.
当aij是复数时, f 称为 复二次型 ; 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
我们只讨论实二次型。
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只含有平方项的二次型
f k1 y k2 y kn y
为标准二次型.
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表示方法
1．用对称形式表示
对二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn ) xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
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a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 ,, xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn
2 2 d1 y12 d 2 y2 d n yn
的二次型，称为二次型的标准形。 注意：标准形对应的矩阵是对角矩阵．因此，二次型 化标准型的问题，就是矩阵与对角阵合同的问题．
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说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后 ,其秩不变 , 但 f 的矩阵由A变为B C T AC ; 2 . 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使 2 2 2 y TC T ACy k1 y1 k 2 y2 k n yn
k1 y1 k2 y 2 ( y1 , y 2 ,, y n ) , y k n n 也就是要使C T AC成为对角矩阵.
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（一）.正交变换法
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵Q ,使 Q AQ ,即Q AQ .
把此结论应用于二次型,有
1 T
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定理5 .8
对于任一n元二次型 f x Ax ,
T
存在正交变换x Qy , 使得
2 2 2 f x T Ax y T Q T AQ y 1 y1 2 y 2 n y n ,
第三节 二次型
一. 二次型及其矩阵表示 二. 线性变换
三. 二次型的标准形
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一. 二次型及其矩阵表示
定义5 .4 含有n个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
2 2 f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x2 ann xn
14
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从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系
1 (1 2,1,1) .
T
将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系
2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
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二. 线性变换
定义5.5 关系式
x1 c11 y1 c12 y2 c 1 m ym , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2m m xn cn1 y1 cn2 y2 cnm ym
通过正交变换 x Qy, 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 17 2 2
A E
2 2
14 4
2 4 18 9
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二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对
称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二
次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
2 1 2 2 2 n
称为标准二次型，简称标准形． 例如
2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型； 2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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三. 二次型的标准形
定义5.7 二次型 f x T Ax , 经可逆线性变换 x Cy 后, 变成只含平方项
T
T
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3．将特征向量正交化
取 1 1,
2 2 ,
( 2 , 3 ) 3 3 2 , ( 2 , 2 )
得正交向量组
T T 1 1 ( 2 , 1, 1) , 2 (2, 1, 0) ,
3 (2 5 , 4 5 , 1)T .
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例１ 写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
a11 a12 a 21 a 22 x1 , x 2 ,, x n a n1 a n 2
a1 n x1 a 2 n x 2 a nn x n
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时，则线性变换的矩阵 C 为 n阶方阵．
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当｜C｜≠0时，称线性变换为可逆的线性变换， 或称非退化的线性变换． 当C为正交矩阵时，则称线性变换为正交线性变换， 简称正交变换．
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正交变换保持向量的长度（或范数）不变，
因为 x Cy， C 是正交矩阵，则
a ij x i x j.
i 1 j 1
n
n
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2．用矩阵表示
2 f a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 x n 2 a x x a x x a x n1 n 1 n2 n 2 nn n
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或者：取相互正交的特征向量 由 x1 2 x2 2 x3 得正交的基础解系
2 (2, 1, 0), 3 (1, 2, 5 2)
得正交向量组
T T 1 1 ( 2 , 1, 1) , 2 (2, 1, 0) ,
3 (1, 12 a21 a22 A a n1 a n 2
a1n x1 a2 n x2 , x , ann x n
则二次型可记作
f x T Ax ,
其中A为对称矩阵.
4. 将特征向量1 , 2 ,, n 正交化, 单位化, 得
1 ,2 ,,n , 记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy, 则得f的标准形
2 f 1 y12 n yn .
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例1 将二次型 2 f 17 x12 14 x2 14 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
C称为线性变换的矩阵．
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特别，当线性变换为
x1 c11 y1 c12 y 2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn


其中 1 , 2 ,, n 是 实对称矩阵A的n个特征值，Q 的n个列向量是A对应于特征值1 , 2 ,, n的单位 正交特征向量。
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f x T Ax ,求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
取
则
aij a ji ,
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
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于是
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a2n x2 xn 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n