f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
aij xi x j .
i , j1
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
四、矩阵的合同
二次型 xT Ax 的矩阵 A与二次型 yT By 的矩阵 B CT AC 是什么关系? 定义：设A, B为两个n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C , 使得CT AC B，则称矩阵A与B合同。
(P1P21 )1 C 1 B C T AC 故A与B合同。
1
A
0
0 1
2
,
B
0
0
1
都是实对称矩阵,
1 0
取
C
0
1 2
有CT AC B 故A与B合同。
但对任意可逆矩阵 P
P 1BP E A
故 A和 B 不相似.
这说明 在所给条件下,合同不一定相似.
小结
实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
1
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
则称关系式为由变量y1 , y2 yn到变量 x1 , x2 xn
的一个线性变换。 线性变换也可记为 x Cy
其中 x x1 , x2 , xn T , y y1 , y2 , yn T
c11 c12
C
c21 cn1
c22 cn2
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x x2 ann xn )
c1n c2n cnn
称为该线性变换的矩阵.
当 C 0时，称 1 式为满秩线性变换（或非退化的线性变换）
当 C 0时，称 1 式为降秩线性变换（或退化的线性变换） 当C为正交矩阵时，称 1 为正交变换。
当线性变换x Cy为满秩变换时，则y C1 x
这是一个由变量x1 , x2 xn到 y1 , y2 yn的满秩变换， 称为x Cy的逆变换。
2 0
则f xT Ax （Cy）T A（Cy） yT CT AC y
1
y1，y2，y3
1 2
0 1 2
0 2
0 1
2 0
2 1 2
0 1
2 0
0 0
1 1 0
2 y1
2 1
y2 y3
2
y1，y2，y3
0 0
0 1 0
0
0 4
y1
y2 y3
2 y12
y22
4 y32
如果对二次型 f xT Ax 进行满秩变换 x Cy :
R B R AC R A,
又 A CT 1 BC 1 , R A R BC 1 R B.
RA RB.
说明
1.二次型经满秩变换x Cy后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B CT AC ;
2.要使二次型f 经满秩变换 x Cy变成标准形, 就是要使
yT CT AC y k1 y12 k2 y22 kn yn2
当aij是实数时, f称为实二次型 .
（我们仅讨论实二次型）。
只含有平方项的二次型
f d1 y12 d2 y22 dn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
a1n x1 a2n x2 ann xn
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
由一个二次型可对应一个对称矩阵A,且A唯一.
如二次型 f 2 x1 x2 3 x32 用矩阵记号写出来就
是
0 1 0 x1
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
1 0
f 2 y1 y2 2 y3 2 y2 2 y3 2 4 y1 y2 2 y3 y2 2 y3 4 y2 2 y3 y3
2 y12 y22 4 y32
设二次型f 2x12 x22 4x1 x2 4x2 x3
2 2 0
方法二
二次型的矩阵
A
2 0
1 2
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明: A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵. B CT AC ,
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
二次型的标准形与一个对角阵一一对应.
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
f xT Ax
a1n a2n ann
其中aii为二次型中xi2的系数，
aij aji i j 为二次型中xi xj系数的一半。
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定 一个二次型。
所以二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。
0 0
0 3
x2 x3
又如f x1 , x2 , x3
x12 x1 x2 4x1 x3 2x22 2x2 x3 x32
1
x1
,
x2
,
x3
1 2 2
1 2 2 1
2
x1
1 1
x2 x3
a11 a12
作一个 n 阶对称矩阵
A
a21 an1
a22 an2
显然由矩阵A可确定一个二次型：
二次型xT Ax经满秩变换 x Cy后它的矩阵A
与二次型yT By的矩阵B是合同关系。
注意:
1. 矩阵的合同关系是对任意的 n 阶矩阵而言的,
并不尽仅仅限于对称矩阵. 2. 矩阵的相似关系与合同关系是不同的.
A与B相似，意味着存在n阶可逆矩阵C使得 C1 AC B A与B合同，意味着存在n阶可逆矩阵C使得 CT AC B
记为A B
定理2 若矩阵 A与B 合同,则 A与B 等价,且
R A RB
合同关系具有以下性质:
1. 反身性 任一 n 阶矩阵A都与它自己合同,即A A
2. 对称性 如果方阵 A与B 合同,则 B与A 合同. 即 若A B,则B A
3. 传递性 如果方阵 A与B 合同, B与 C 合同, 则 A与 C 合同. 即 若A B, B C，则A C
又由于A与B都是实对称矩阵，
则存在正交矩阵P1，P2，使得
P11 AP1 , P21BP2
那么B P2P21 P2 P11 AP1P21 (P1P21 )1 A(P1P21 )
记C P1P21
由P1T P11 , P2T P21得
C T (P1 P21 )T (P21 )T P1T (P2T )T P11 P2 P11
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
an1 an2
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的矩阵表示
对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
1
f 的矩阵为A5 2 6来自5 2 4 767
5
例3已知二次型
f ( x1, x2, x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3
的秩为2，求参数 c
5 1 3
解：二次型 f 的矩阵为
A
1 3
5 3
3 c
由 f 的秩为2知 A 0
一般C1 CT , 因此由A与B相似不能推出A与B合同；
由A与B合同不能推出A与B相似。
如果C是正交矩阵，即C1 CT，
则A与B合同，A与B相似同时成立。
3. 任意一个对称矩阵,都与一个对角矩阵合同.
例5设 A和 B 为实对称矩阵,则由 A与B相似可推出
A与 B 合同,反之不然.
证明: A与B相似， A与B有相同的特征值。