平面向量系列
几何意义法解题
一、 平面向量的几何意义
✓ 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解
题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。
✓ 首指向尾
首尾相连，b a ⇒+ ✓ 指向被减向量
共起点，b a ⇒-
✓ b
a b t a b t a ⊥⇒-=+||||
✓ 即矩形
形对角线相等的平行四边，b a b a ⇒-=+||||
✓
即菱形
四边形对角线互相垂直的平行，b a b a ⇒=-+0))((
二、例题精析
例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知b a ,是非零向量，则下列条件中b a ,夹角等于0
120的是（ ） A 、||||b a b a -=+ B 、 |||||a |b a b -== C 、|||||a |b a b +== D 、 ||2||||a b a b a =-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为0
90；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为0
60；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为0
60的补角，即为0
120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为0
90。
故选C 。
例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足
|,2|||OA OC OB OC OB -+=-则ABC ∆一定是（ ）
A 、等腰直角三角形
B 、直角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三角形
【解析】：|,2|||OA OC OB OC OB -+=-||||||AC AB OA OC OA OB CB +=-+-=⇒，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ∆一定是直角三角形，选B 。
例3、（2017，西安模拟改编）若非零向量b a ,满足|,|||b b a =-则（ ）
A 、|2||2|b a b ->
B 、|2||2|b a b -<
C 、|2||2|b a a ->
D 、|2||2|b a a -< 【解析】：若b a ,共线，如左图，故只有C 对。
若b a ,不共线，如右图所示，故选A 。
例4、（2015，朝阳区模拟）已知向量a ≠ e ，e =1 ，对任意t ∈ R ,恒有e t a - ≥ e a - ，则（ ） A 、a ⊥ e B 、a ⊥ （a )e -
C 、e ⊥ （a )e -
D 、（)()e a e a -⊥+
【解析】：如图分别画出向量e a ,，e t 表示与e 共向的直线上，当e 与)(e a -垂直时，||e a -最小，故选C 。
例5、（2015，浙江模拟）设向量c b a ,,满足,0=++c b a 且,)(c b a ⊥-,b a ⊥若,1||=a 则2
2
2
c b a ++的值是__________
【解析】：根据题意，如图所示，易知42112
222
2
2
=++=++c b a
例6、设b a ,是单位向量，0=⋅b a ，向量c 满足,1||=--b a c 则||c 的最大值为__________ 【解析】：,1|)(|||=+-=--b a c b a c 根据题意，如图所示，易知||c 的最大值为12+
例7、（2017，桂林模拟）已知平面向量c b a ,,满足,1||=a ,2||=b ,2||=c |,|||b a b a -=+则||c b a ++的最大值为__________
【解析】：根据|,|||b a b a -=+知对角线相等的平行四边形，即为矩形，b a ⊥，521||22max =+=+b a
如图，易知||c b a ++最大值为25+。
例8、（2017，吴川校级模拟）设向量b a ,满足,1||||||=+==b a b a 则||b t a -，)(R t ∈的最小值是__________
【解析】：根据题意，画出图形，易知2
3
||min =
-b t a
例9、（2017，湛江校级月考）已知向量b a ,满足,1||,2||==b a 且对一切实数x ，||||b a b x a +≥+恒成立，则><b a ,=__________
【解析】：根据题意，作出图形，易知4
3,π
>=
<b a ；
例10、（2017，西安模拟）若两个非零向量b a ,满足|,|2||||a b a b a =-=+则向量b a +与b a -的夹角是__________
【解析】：根据题意，对角线长度等于其中一条边的2倍，如图所示，易知两对角线的夹角为0
60。
例11、（2017，宜宾一模）设向量c b a ,,满足,60,,2
1
,1||||0>=--<-=⋅==c b c a b a b a 则||c 的最大值是__________
【解析】：根据题意，知圆内接四边形，如图所示，易知||c 为直径时最大，即2||=c 。
三、巩固练习
练习1、（2013，清浦区校级期末）已知非零向量,,b a 满足,1||||=+=b a a b a 与夹角为0
120，则||b ＝
________。
【解析】：作出图形可知，有一个夹角为0
120的平行四边形，则将平行四边形分为两个正三角形，故有
1||||==a b
练习2、（2016，湛江校级期末）已知向量＝则且满足||,5||||,4||,b b a b a a b a =-=+=_______。
【解析】：⇒=-=+5||||b a b a 对角线等于5的矩形，又知一边为4，则另一边等于3。
练习3、（2014，宝山区二模）已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量||j i +＝_______。
【解析】：j i ,是互相垂直的单位向量，在平面直角坐标系中作出图形易知，2||=
+j i
练习4、（2016，化州模拟）已知b a ,是两个非零向量，且=-+-==|
||||,|||||b a b a b a b a 求
_______。
【解析】：⇒-==|||||a |b a b 两向量构成正三角形，补成一个夹角为0
120的平行四边形，即求对角线的比值，易知：
31
3
|
|||==
-+b a b a
练习5、（2013，永康模拟）已知向量b a ,满足，1||||||=+==b a b a 则b a ,的夹角为________。
【解析】：作出平行四边形，其中两边与一对角线相等，如图，易知b a ,的夹角为0
120。
练习6、（2017，长安县校级期末）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则b a 与的夹角为____。
【解析】：三个向量的长度相等，又知c b a =+，构成平行四边形，如图，易知b a ,的夹角为0120。
练习7、（2016，蓝山校级模拟）已知向量,1||),4,3(=-=b a a 则||b 的范围是_______。
【解析】：利用平面向量的几何意义，如图所示，易得||b 的范围是15||15+≤≤-b 。