2020届高三数学一诊模拟试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．设121iz i i+=--，则||z = A ．0B ．1CD ．33．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．516B ．54C ．52D ．55．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 6．下图可能是下列哪个函数的图像A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=- C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+7．已知曲线1:2C y x ，2:sin 2cos 2C y x x =+，则下面结论正确的是 A ．把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B ．把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C ．把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D ．把曲线2C向右平移8π个长度单位得到曲线1C8．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D ．1210．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 A ．2764B ．916C ．81256D ．71611．已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A ．2019πB ．42019π C ．22019πD ．4038π12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________14．若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213=mx dx ⎰______.15的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______； 16．在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅的取值范围是______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为12,cos 4b c A -==-．(1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．18．（12分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：(1)求表中t ，q 及图中a 的值；(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X 表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，1AA =，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点． （1）求证：CD ⊥平面1AB ；（2）在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π．20．（12分）已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值. 21．（12分）已知函数22()2(1)xf x axex -=--，a R ∈.（1）当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>（l ）设t 为参数，若12y =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高2020届一诊模拟考试 理科数学试题参考答案1．B 2．B3．B4．A5．B6．C7．D8．B9．A10．B11．C 12．B13．0.7614．12415．216．3[,0]4-17．（1）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得a=8.由sin sin a cA C=,得sin 8C =. （2）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 6662A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=18．解：(1)由表格可知，全班总人数t ＝＝50，则m ＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a ＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p ＝50，即p ＝20，所以q ＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人． 由题意得X 可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝k )＝，所以P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.随机变量X 的分布列如下：数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19．（1）证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥；又1AC A C =，D 为1AA 中点，则1CD AA ⊥.∴CD ⊥面11ABB A . （2）如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -，则有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -，设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =， 由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，则有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 则1212•cos3n n nn π==12=，得13λ=-.所以，当113BEBB =-时，二面角11E AC A --的大小为3π. 20．解：（1） 设(),P x y ，由题意得：()()1,,0,A x y B y ，由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点，故102x x +=，所以12x x =，又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=；当10x ≠时，11,OP y k x = 因为OP OQ ⊥,即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫-⎪⎝⎭，OP ∴=OQ == 221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.221．（1）当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e -=--，令()'0f x =，得1x =或2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减； 当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增；当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减； 所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. （2）证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<， ∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈， 要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数， 所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，则()()'1g x x =- 22x xe e e -.∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证. 22．（1）直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，若12y =-+，代入上式得2x t =，所以直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a > 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.（*）则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-.因为0a >，所以1a =23：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<； 当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.（2）（方法一）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5， 所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.- 11 - （方法二）设()2g x x a =-+，则()()max 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.。