对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） 对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） ，奇点就是相平面的 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 稳 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 中心点不是奇点
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x > 0 轨迹向右移
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线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动的微分方程为
T x+ x = 0
相轨迹方程为： 相轨迹方程为： 设初始条件为： 设初始条件为：
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1 x = − x T x (0) = c
•
1 x (0) = − c T
•
•
T <0
发散
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x x
x
T >0
收敛
x
线性二阶系统的相轨迹
线性系统相平面的图解法
一．基本概念 相平面及相轨迹 相平面有关概念举例说明
二．线性系统的相轨迹 线性一阶系统的相轨迹 奇点与普通点 三.相轨迹的绘制 积分法 等倾线法 线性二阶系统的相轨迹
四.由相轨迹求时间解
非线性系统的相平面分析
本质非线性系统的线性化 非线性系统的极限环
用相平面表现运动
d2y dy +4 + 3y = 0 2 dt dt
相轨迹为向心螺旋线最终趋于原点 ( x = 0 x = 0) 。是一个收敛的运 动。对应的平衡点是稳定的焦点。
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ζ =1时，线性二阶系统的相轨迹 时
k
存在两个相同的负实根 s1, 2 = −ζωn 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根，不同初始条件的相轨 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根， 稳定的节点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。平衡点为稳定的节点。
非线性控制系统的相平面分析法 非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件， 描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。 相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 相平面以运动中的两个重要的状态量（ 位置）作为坐标， 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。 同时相平面的相关概念也是状态空间分析法的 基础。 基础。
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用第一个方程除 dx • dt = x 第二个方程 则 • • d x dt = f ( x, x)
d x f ( x, x) = • dx x
相轨迹斜率方程
运动状态方程组 相轨迹方程可用于描绘运动的相轨迹，也是相平面分析的工具。 相轨迹方程可用于描绘运动的相轨迹，也是相平面分析的工具。
• •
a>0，收敛并最终停止在x轴 ，收敛并最终停止在 轴
a<0，发散至无穷。 ，发散至无穷。
奇点与普通点
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相轨迹上，每一点切线的斜率为： 相轨迹上，每一点切线的斜率为：
• •
d x f ( x, x) = • dx x
若在某点 f ( x , 之称为普通点。 之称为普通点。
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x) 、 x
同时为零，该点称为相平面的奇点。 同时为零，该点称为相平面的奇点。反
原点称为 鞍点。 鞍点。
线性二阶系统的相轨迹
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x + a x + bx = 0
•
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当b=0时，系统的特征根为 b=0时
s1 = 0
s2 = − a
d x 相轨迹的斜率方程为 = −a dx 相轨迹是过初始条件的斜率为-a的直线 的直线。 相轨迹是过初始条件的斜率为 的直线。 用积分法求得相轨迹 x − x ( 0 ) = − ax − x ( 0 )
ζ ≤ -1时，线性二阶系统的相轨迹 时
相轨迹的形式与ζ 时相同， 运动方向相反 呈非振荡发散。 相反， 相轨迹的形式与ζ ≥ 1时相同，而运动方向相反，呈非振荡发散。 ζ< -1，存在两条等倾线， ζ = -1，两条等倾线蜕化成一条等倾线。 ，存在两条等倾线， ，两条等倾线蜕化成一条等倾线。 相平面的原点称不稳定节点 不稳定节点。 相平面的原点称不稳定节点。
弹簧弹簧-质量系统自由运动
运动微分方程式
m x = − kx
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• dx dt = x • k d x dt = − m x
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d x k x = − × & dx m x 相轨迹斜率方程
状态方程组
• • 1 2 2 m ∫ • xd x = m ( x − x 0 ) 2 x0 相轨迹方程两边分别积分 x 1 2 2 − k ∫ x dx = − k ( x − x 0 ) x0 2
dx 0 = 在奇点处， dx 0 为不定形式，奇点处切线的斜率不定，相轨 在奇点处， 为不定形式，奇点处切线的斜率不定， 迹可以任意方向趋近或离开奇点。奇点是相轨迹交点。 迹可以任意方向趋近或离开奇点。奇点是相轨迹交点。
奇点一定在相平面的横轴上（不一定在原点），在奇点处， 奇点一定在相平面的横轴上（不一定在原点），在奇点处，运动的 ），在奇点处 速度和加速度同时为零。故奇点亦称为平衡点。 速度和加速度同时为零。故奇点亦称为平衡点。
线性二阶系统的相轨迹
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线性二阶系统的自由运动亦可写成
x + a x + bx = 0
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b<0时 根的分布如图，两条等倾线既是相轨迹， b<0时，根的分布如图，两条等倾线既是相轨迹，又将相平面分成 四个区域。只有初始值落在负斜率的等倾线上，运动将趋于原点。 四个区域。只有初始值落在负斜率的等倾线上，运动将趋于原点。 即使这种情况，如受到微小的扰动，将偏离该轨迹，发散至无穷。 即使这种情况，如受到微小的扰动，将偏离该轨迹，发散至无穷。
运动微分方程式 对应的通解
y = C1e −3 t + C 2 e − t
C1和C2由初始位置和初始速度确定。通解虽可 由初始位置和初始速度确定。 以反映出初始条件对运动的影响， 以反映出初始条件对运动的影响，但在时域内不 便于直观表现出来。 便于直观表现出来。 由通解知
dy − 3t −t &= y = − (3C1e + C 2 e ) dt
积分法
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由于相轨迹方程表示成 d x = f ( x , x ) •
dx
当
f ( x , x ) = ϕ ( x ) 即仅是x的函数 即仅是x
• •
•
x
则有 x d x = ϕ ( x ) dx
••
两边分别积分， 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
• •
例：
• 2
x+ = −M
x
d x = −M dx
ζ =0时，线性二阶系统的相轨迹 时
此时，相轨迹围绕原点旋转，不能收敛于原点。称为中心点。 此时，相轨迹围绕原点旋转，不能收敛于原点。称为中心点。 中心点
-1< ζ< 时，线性二阶系统的相轨迹 < ζ<0时
此时两个根的分布如图示，相轨迹为离心螺旋线，最终发散至无穷。 此时两个根的分布如图示，相轨迹为离心螺旋线，最终发散至无穷。 原点称不稳定焦点 不稳定焦点。 原点称不稳定焦点。
ζ >1时，线性二阶系统的相轨迹（稳定的节点） 时 线性二阶系统的相轨迹（稳定的节点）
k2
k1
存在两个互异负实根
s1 = −ζωn + ωn ζ 2 − 1
s2 = −ζωn − ωn ζ 2 − 1
相轨迹包含两条特殊的等倾线，斜率分别等于两个根， 相轨迹包含两条特殊的等倾线，斜率分别等于两个根，初始值落在 这两条直线上，相轨迹沿直线趋于原点。除此之外沿K 趋于原点。 这两条直线上，相轨迹沿直线趋于原点。除此之外沿 1趋于原点。
切线场
在等倾线上，选定若干点，过这些点作短线段， 在等倾线上，选定若干点，过这些点作短线段，这些短线段的斜率 等于所在等倾线代表的切线斜率。如图示。 等于所在等倾线代表的切线斜率。如图示。 所有的短线段在相平面上 形成切线场
利用切线场绘出相轨迹
在等倾线和切线场的基础 可方便地勾画相轨迹。 上，可方便地勾画相轨迹。 在绘出一条相轨迹后， 在绘出一条相轨迹后，还 可利用对称原理， 可利用对称原理，绘出另 一条对称的轨迹。 一条对称的轨迹。
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x
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经整理得相平面上的相轨迹
m x + kx
2
•
2
2 轨迹是一簇椭圆，反映了初始 轨迹是一簇椭圆， = ( kx 0 + m x 0 ) 2
•
条件对运动的影响。 条件对运动的影响。
弹簧弹簧-质量系统自由运动的相平面图
上半平面 轨迹向左移。 下半平面 x < 0 轨迹向左移。 不同的初始条件， 不同的初始条件，对应不同的 椭圆。 椭圆。它示出所有可能的运动 本例系统内不存在阻尼，系统 本例系统内不存在阻尼， 的运动是不衰减的等幅振荡， 的运动是不衰减的等幅振荡， 相平面上表现成同心的椭圆， 相平面上表现成同心的椭圆， 表示在能量转换中不耗能， 表示在能量转换中不耗能，保 持初始的能量不变。 持初始的能量不变。 1象限：动能转换成势能（弹簧拉伸运动） 象限：动能转换成势能（弹簧拉伸运动） 4象限：势能转换成动能（拉伸最大后进行反向恢复运动） 象限：势能转换成动能（拉伸最大后进行反向恢复运动） 象限：动能转换成势能（反向恢复动能最大后进行压缩运动） 3象限：动能转换成势能（反向恢复动能最大后进行压缩运动） 象限：势能转换成动能（压缩势能最大后进行正向恢复运动） 2象限：势能转换成动能（压缩势能最大后进行正向恢复运动）