九 论证四结点矩形单元是完备的协调单元 77 四结点矩形单元的位移函数可表示为 U=α1 +α2 x+α3 y+α4 xy V=α5 +α6 x+α7 y+α8 xy 他们是 x,y 的双线性函数。其中参数α1 α2 α3 和α5 α6 α7 反映了刚体位移和常应变，所 以， 是完备单元。 另外， 在相邻单元的公共边x = −a 和y = − b上， 位移函数按线性变化， 而相邻单元在边界的两个结点上有相同位移。所以，这两个相邻单元在公共边界的各点 上有相同的位移，这就保证了相邻单元的协调性，因此，这种单元也是协调单元。 1. 3 非线性问题的类型 1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限 小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。 2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性 响应，这又可以分为两种情形： 第一种情形，大位移小应变。第二种情形，大位移大应变。 3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度 和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。 常用的非线性分析方法 非线性方程组的增量逐步解法 Newton－Raphson 迭代格式的增量逐步解法 2、什么是等参元？它有什么特点？ P47（等参数单元） 等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同 数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。 由于等参变 换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表 示单元的规则域内进行， 因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂， 仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为 有限元法中应用最为广泛的单元形式。
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5 网格分界面和分界点 应使网格形式满足边界条件特单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调， 一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。 7 网格布局 当结构外形对称时，其网格也应划分对称网格。 8 节点和单元编号 节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数， 因而影响计算时间和存储 容量的大小，因此公道的编号有利于进步计算速度。 六、你知道哪些大型有限元软件，请说明
ansys 偏向于专业的工程应用，需要获得精确的分析结果。操作起来也十分专业，包括 网络划分，几何修正、几何体的物理模型等都给与使用者更多的选择，以便达到更加精确的 效果。Ansys 更偏重专业分析人员来做工程分析。 ABAQUS 长于非线性有限元分析,可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是 能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS 不但可以做单一零件的力 学和多物理场的分析， 同时还可以做系统级的分析和研究， 其系统级分析的特点相对于其他 分析软件来说是独一无二的。 七、形函数性质，并画出三节点三角形单元函数Ni 的分布规律 1 形函数与位移函数是相同次数的多项式 2，形函数在自身节点上的值为 1，其它结点上的值是 0； 3 单元的任一点上，三个形函数之和为 1； 八、为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件?如何构造？ 1. 位移函数必须包括单元的刚度位移。 2. 位移函数必须包括单元常应变 3. 位移函数在单元内必须连续，在相邻单元间必须协调。 多项式的项数应等于单元的自由度数，其阶次应包括常数项和完全线性项。同时要对称 地选取多项式的项数。
一．有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的精度低于位移解答精度？ （1） 步骤 1 弹性单元的离散化 2 选择位移函数 3 建立单元刚度方程 4 建立整体平衡方 程 5，求解整体平衡方程 （2） 位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相关的派生解，这就导致了应 力解答的精度低于位移解答精度。 二．简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质 单元刚度矩阵性质 48 1 单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。 2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。 3 单元刚度矩阵为对称矩阵 4 单元刚度矩阵为奇异矩阵 整体刚度矩阵性质 1 每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。 2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。 3 单元刚度矩阵为对称矩阵 4 单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵。 5 整体刚度矩阵是带状矩阵 三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。 三角形单元中， 三结点的常应变单元， 其单元内应力是常量， 它是一种简单但精度低的单元； 六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。 而矩形单元， 其精度虽比相应的三角 形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。平面等参数 单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。 四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？ 1 网格数目 网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数目增加，计算 精度会有所进步，但同时计算规模也会增加。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结 果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格， 这是为了适应计算数据的分布特点。 在 计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比 较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的 网格。 3 单元阶次 选用高阶单元可进步计算精度，所以当结构外形不规则、应力分布或变形很复杂时可以选 用高阶单元。但高阶单元的节点数较多，在网格数目相同的情况下由高阶单元组成的模型 规模要大得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。 4 网格质量 网格各边或各个内角相差不大、网格面不过分扭曲、边节点位于边界，在重点研究的结构 关键部位，应保证划分高质量网格