课时作业8 指数与指数函数一、选择题1．化简4a 23 ·b －13 ÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23a － 13 b23 的结果为( C ) A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析：y ＝2x－2－x是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数是( C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析：b ＝log 12 0.3>log 12 12＝1>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，c ＝a b<a .∴c <a <b .故选B.6．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x<a x，则( C ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵当x >0时，1<b x，∴b >1. ∵当x >0时，b x<a x， ∴当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a bx >1. ∴a b>1，∴a >b .∴1<b <a ，故选C.7.如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为( A )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t)，则点B 的坐标为(2t,2a t)．因为2a t＝a 2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝ 2.故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}． 解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x－1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <12；同理，当a >1时，解得0<a <12，与a >1矛盾．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 10．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝2x 1＋a ·2x (a ∈R )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a ＝1.解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1， 即2x 1＋a ·2x ＋2－x1＋a ·2－x ＝1， 整理得(a －1)[22x＋(a －1)·2x＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立． 三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x(a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.13．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x2－a与g (x )＝a x(a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a0.1的大小关系是( D )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x2－a与g (x )＝a x(a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a0.1<1，所以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0，a ≠1)且f (0)＝0. (1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x－2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－42＋a＝0，得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－42·2x＋2＝1－22x ＋1. 因为函数g (x )＝(2x＋1)·f (x )＋k ＝2x＋1－2＋k ＝2x－1＋k 有零点，所以函数y ＝2x的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x－2恒成立，即1－22x ＋1>m ·2x－2恒成立，亦即m <32x－22x2x＋1恒成立， 令t ＝2x，则t ∈(1,2)，且m <3t －2tt ＋1＝3t ＋1t t ＋1＝1t ＋2t ＋1. 由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1,2)上单调递减，∴1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，∴m ≤76. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知实数a ，b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，则( B )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a <b －aD ．a >b －a解析：由12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a >1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，故2a <b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b>⎝⎛⎭⎪⎫224，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2， ∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(当x ＝1时取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。