2011-2018新课标(理科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。

【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

（2）由（1）知ln 11x x x++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0）【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得：()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞（2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =；当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e【2013新课标1】21. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （1）求a ，b ，c ，d 的值（2）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。

【解析】（1）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2； （2）由（1）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+， 设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，①若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ， 而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， ②若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， ③若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立，综上所述，k 的取值范围为[1,2e ]【2013新课标2】21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. 【解析】(1)f ′(x )＝1e x x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x -+.函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0.因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2x x -+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得0e x＝012x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.【2014新课标1】21．设函数f （x ）=ae x lnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处得切线方程为y=e （x ﹣1）+2．（ 1）求a 、b ；（ 2）证明：f （x ）＞1． 【解析】（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， f ′（x ）=+，由题意可得f （1）=2，f ′（1）=e ， 故a=1，b=2； （2）由（1）知，f （x ）=e x lnx+，从而f （x ）＞1等价于xlnx ＞xe ﹣x ﹣，设函数g （x ）=xlnx ，则g ′（x ）=1+lnx ， ∴当x ∈（0，）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（，+∞）时，g ′（x ）＞0． 故g （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 从而g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （）=﹣． 设函数h （x ）=，则h ′（x ）=e ﹣x （1﹣x ）．∴当x ∈（0，1）时，h ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＜0， 故h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h （x ）在（0，+∞）上的最大值为h （1）=﹣． 综上，当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001） 【解析】 （1）+-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f （x ）在（—∞，+∞）单调递增（2）g （x ）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x(x)=2[++]=2(+)(+)①当b ≤2时，g ’(x) ≥0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;②当b>2时，若x 满足，2< x x e e -+<2b-2即22b b -时g ’(x)<0,而 g （0）=0,因此当0<X ≤22b b -时，g(x)<0综上，b 的最大值为2 （3）由（2）知，2)=322当b=2时，)=32+6ln2>0,ln2>312>0.6928当b=4+1时，)=32+2)ln2<0 In2<1828<0.693【2015新课标1】21. 已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(2)用min {},m n 表示m,n 中最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数 【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与 x 轴相切于点 (x 0,0)，则 f (x 0)=0，¢f (x 0)=0，即 x 03+ax 0+14=03x 02+a =0ìíïîï，解得 x 0=12,a =34. 因此，当 a =34时， x 轴是曲线 y =f (x )的切线. （Ⅱ）当 x Î(1,+¥)时， g (x )=-ln x <0，从而 h (x )=min{f (x ),g (x )}£g (x )<0，∴h (x )在（1，+∞）无零点. 当 x =1时，若 a ³-54，则f (1)=a +54³0， h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故 x =1是h (x )的零点；若 a <-54，则 f (1)=a +54<0， h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故 x =1不是 h (x )的零点.当 x Î(0,1)时， g (x )=-ln x >0，所以只需考虑f (x )在（0,1）的零点个数. (ⅰ)若 a £-3或 a ³0，则¢f (x )=3x 2+a 在（0,1）无零点，故 f (x )在（0,1）单调，而f (0)=14， f (1)=a +54，所以当 a £-3时， f (x )在（0，1）有一个零点；当 a ³0时，f (x )在（0，1）无零点.(ⅱ)若 -3<a <0，则f (x )在（01）单调递增，故当 xf (x )取的最小值，最小值为f +14. ① 若f ＞0，即 -34＜ a ＜0， f (x )在（0,1）无零点.②若f=0，即a=-34，则f(x)在（0,1）有唯一零点；③若f＜0，即-3<a<-34，由于f(0)=14，f(1)=a+54，所以当-54<a<-34时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3<a£-54时，f(x)在（0,1）有一个零点.综上，当a>-34或a<-54时，h(x)由一个零点；当a=-34或a=-54时，h(x)有两个零点；当-54<a<-34时，h(x)有三个零点.【2015新课标2】21. 设函数f(x)=e mx+x2-mx。