试卷类型：A
肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测
数学
注意事项：
1．本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
4．考试结束．监考人员将试卷、答题卷一并收回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}1{5|M x x =<≤，}2{6|N x x =<≤，则M N =
I A ．{|}
56x x <≤B ．{|}12x x <≤C ．{|}
25x x ≤≤D ．{}
6|1x x <<2．已知复数1122z i =+，其中i 为虚数单位，则i z ⋅=A ．1122i -+B ．1122i +C ．1122i --D ．
1122i -3．设x ∈R ，则“3x >”是“29x ≥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数21l og (),0,()2,0,x x x f x x ⎧+-<⎪=⎨>⎪⎩则()()
11f f -+=A ．2B ．3C ．4D ．5
5．已知函数1()l n x f x e x x -=+，则()
1f '=
A ．0
B ．1
C ．e
D ．2
6．函数()44422()x x f x x x ---=+的图象大致为
7．正方形A B C D 的边长为1，E 为B C 的中点，A F A B A C λ=+uuu r uuu r uuu r
．若2A E A F ⋅=uuu r uuu r ，则λ=A ．1
2B ．1C ．3
2D ．2
8．某公园有一个边长为2 m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为
A ．3m
B ．3m
C ．1 m
D ．2m
二、多项选择题：本题共4小题．每小题5分．共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是
A ．若a αP ，b αP ，则a b
P B ．若a α⊥，b α⊥，则a b P C ．若a α⊥，a β⊥，则αβP D ．若a α⊥，b αP ，则a b
⊥10．等差数列{}n a 中，511a =,1210a =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则
A ．1161
a a +=B ．8S 是{}n S 中的最大项C ．9S 是{}
n S 中的最小项D ．89a a <11．如图是函数()()
si n 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是
A ．()si n(2)3
f x x π=-B ．
()si n(4)3f x x π=-C ．()06f π=D ．2()13f π-=
12．下列大小关系正确的有
A ． 2.122 2.1>
B ． 3.922 3.9<
C ．1l n 2l n 22<
D ．58l
og 3l og 5<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知1si n 3x =，则cos x =▲．
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x =-．若()22f =，则()6f =▲．15．已知等比数列{}n a 中，21S =，232a a +=，则6S =▲．
16．鳖臑（biēnào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵．斜
解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。

”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形
的三棱锥的古称．如图，三棱锥A B C D -是一个鳖臑，其中A B B C ⊥，
A B B D ⊥，B C C D ⊥，且4A B B C D C ===，过点B 向A C 引垂线，
垂足为E ，过E 作C D 的平行线，交A D 于点F ，连接B F ．设三棱锥A B C D -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A B E F -的外接球的表面积为2S ，则12S S =▲．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在①2A B C S ∆=
，②si n n A C =
，③si n 2
C =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在A B C ∆，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且b =
si n 0A A +=，▲？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知函数()321(1)3
f x x ax a x =-+-．（1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；
（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，求()
f x '零点之间距离最小时a
的值．
19．（本小题满分12分）
如图，棱长为2的正四面体A B C D （所有棱长均相等的三棱锥）中，E ，F 为A B 和D C
的中点．
（1）证明：A B C D ⊥；
（2）求三棱锥D E F B -的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数()
22n(2)4cos 33f x x x π=--+．（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()
f x 在区间2,123ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
*112n n a S n =+∈N ．（1）求n S ；
（2）若21l og 2n n n n b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}
n b 的前n 项和n T ．22．（本小题满分12分）
已知函数()1l n 2
f x x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1x =是函数()()g x xf x =的极值点，求证：函数()g x 存在唯一的极大值点0x ，且()
0102g x -<<．（参考数据：l n 20.693≈）。