习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
例.1 ()y x f ,=
⎝
⎛=⋅≠⋅+0,00,1sin 1sin y x y x x
y y x
例.2
⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0
03),(22222
2y x y x y x xy
y x f
例.3 22
222(,)()
x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0
→→不存在。

一般结论：
二．多元函数的极限与连续，连续函数性质
例.4 求下列极限：
（1）
1
1
)
0,1(),()
(lim -+++→+y x y x y x y x ； （2）
)ln()(lim 22)
0,0(),(y x y x y x ++→;
（3）
(,)(0,0)sin()
lim
x y xy x
→；
（4）22lim
x y x y
x xy y →∞→∞
+-+；
（5）2
2
()
lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞
+。

例.5 证明：极限0)
(
lim 2
2
2)
,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．
例.6
若()y x f z ,=在2
R 上连续, 且
()22
lim ,x y f x y +→+∞
=+∞, 证明 函数f 在2R 上一
定有最小值点。

例.7 )(x f 在n R 上连续,且
(1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>∀c )()(x x cf c f =
例.8
若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且
a y
x y x y x f y x =++-→2
2
2
2)
0,0(),(),(lim
a 为常数。

证明：
（1）),(y x f 在)0,0(点连续；
（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。

例.9 函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00),sin(),(2
22
2222
2y x y x y x y x xy
y x f 在)0,0(点是否连续?
(填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．
三．多元函数的全微分与偏导数
例.10 有如下做法：
设),()(),(y x y x y x f ϕ+=其中),(y x ϕ在)0,0(点连续, 则
[][]
dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(ϕϕϕϕ+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=ϕ.
(1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法.
例.11
设二元函数),(y x f 于全平面2
ℜ上可微，),(b a 为平面2
ℜ上给定的一点，则极限
=--+→x
b x a f b x a f x )
,(),(lim。

例.12
设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，
)),(,()(x x f x f x g =，求)1(g '。

例.13 设),,(2
x y y x f z =其中2
C f ∈，求x z ∂∂和y
x z ∂∂∂2。

例.14 设()y x z ,定义在矩形区域(){}
b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0,上的可微函数。

证明: （1）()()()0,
,,≡∂∂∈∀⇔=x
z
D y x y f y x z ; （2）()()()()0,,,2≡∂∂∂∈∀⇔+=y
x z
D y x y g y f y x z
例.15
n 为整数，若任意0,t >(,)(,)n f tx ty t f x y =，则称f 是n 次齐次函数。

证明：
(,)f x y 是零次齐次函数的充要条件是
0.f f x y x y
∂∂+=∂∂ 例.16
下列条件成立时能够推出),(y x f 在),(00y x 点可微,且全微分0=df 的是
（ ）.
(A) 在点),(00y x 两个偏导数0,0='='y x f f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2
2y
x y x f ∆+∆∆∆=∆,
(C)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2
2
22)sin(y
x y x f ∆+∆∆+∆=
∆
(D) ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2
222
1
sin )(y
x y x f ∆+∆∆+∆=∆
例.17 设xy y x f =
),(,则在)0,0(点( B )
(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微； (C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.
例.18 设y
x
z arcsin
=，求dz . 例.19
y
x y
x u +-=arctan
，则=u d
例.20
设函数)2(cos 22
y x z -=，证明02222=∂∂+∂∂∂y
z
y x z ．
例.21
设函数xy y x z )2(+=，求
x z ∂∂及y
z
∂∂． 例.22
若函数)(u f 有二阶导数，设函数)()(1y x yf xy f x z ++=，求y
x z
∂∂∂2．
例.23
设函数y x y x z -+=arctan ，求x z ∂∂，y z ∂∂，y x z
∂∂∂2
例.24
设),,(2
x y y x f z =其中2
C f ∈，求x z ∂∂和y
x z ∂∂∂2。

*多元复合函数
设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点
),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数
)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且
()()()()
x y x v v v u f x y x u u v u f x
z y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=
00000000)
,(,,,,00∂∂()()()()y
y x v v v u f y y x u u v u f y
z
y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=
00000000)
,(,,,,00∂∂
*多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将
z 看成y x ,的函数，有
dy y
z dx x z dz ∂∂+∂∂=
计算
y
v
v f y u u f y z x
v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,，代人， dv v
f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=
我们将dv v
f du u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=叫做微分形式不变性。

例.25 设⎪⎭
⎫
⎝⎛
=x y xy f x z ,
3，求y z x z ∂∂∂∂,。

例.26 已知 )
1(1
x
y x
-=，求
dy dx
. 例.27
设),(y x f 定义在2R 上, 若它对x 连续,对y 的偏导数在2
R 上有界, 证明)
,(y x f 连续．。