泛美大厦，60层钢结 构，南北方向的基本固 有周期为2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力 坝的基本固有周期由强迫振动试验 测得在蓄水为310英尺和345英尺 十分别为0.288秒和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距 1280.2米全桥总长2737.4米的悬索 桥，其横向振动的基本基本固有周期 为18.20秒，竖向振动的基本基本固 有周期为10.90秒，纵向振动的基本 基本固有周期为3.81秒，扭转振动 的基本基本固有周期为4.43秒
[例13.2] 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下
土壤的抗压刚度系数为 cz=0.6N/cm3，基础底面积 A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。
解: 让振动质量向下单位位移 需施加的力为：
k = cz A= 0.6×103×20
W
=12×103 kN/m
自振频率为：
k kg 12103 9.8 44.27s1
用 f表示频率：每秒钟内的振动次数 用表示圆频率： 2 秒内的振动次数
f1 T 2
1)自振周期计算公式： 2)自振频率计算公式：
T 2 m 2 m
k
2 W 2 st
g
g
k 1 g g m m W st
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
3)自振周期和频率的讨论
T 2
m 2
k
设特解为：y Cet
1.振动方程
建立动平衡方程
my cy ky 0
标准化得:
y c y k y0 mm
特征方程为：2 2 2 0
根为 1、2＝ － 2－1
微分方程的解与相应 特征方程的根有关
2.讨论根的三种情况 1、 1、 1
—— 称为阻尼比,是体系的一种特性，它取 决于体系的质量和刚度
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
y m
y=0 阻尼是客观存在的
m
（1）产生阻尼的原因
1)结构与支承之间的外摩擦
2)材料之间的内摩擦
k
kc
3)周围介质的阻力
（2）阻尼力的确定
1) 不考虑阻尼
y(t)
a
2) 考虑阻尼
1)与质点速度成正比 2)与质点速度平方成正比 3)与质点速度无关
0 振幅随时间减小，这表明在振动过
振幅：A
y02
v02
2
初始相位角： tan1 y0
v0
y0 yst 初始条件： y0 2gh
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
具体例子比较:
1.例如设:yst 0.4cm, h 则10cm
g 980 49.5rad / s
h
yst
0.4
A 0.42 2100.4 2.86cm
y A
（位移幅值）
y A2
（加速度幅值）
I mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时刻也一
样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.1] 求图示梁结构的自振周期和自振频率。
y
et [
y0
cos r t
0
r
y0
sin rt]
初始条件
也可: y eta sin(rt )，a
y
y aet
y02
(v0
y0 )2 r2
,
tg
v0
y0r y0
▲特点：
yk yk+1
1)振幅逐渐衰减；
t
2)振幅呈等比级数递减
tk
T
讨论: 1)阻尼振幅对的影响
阻尼对自由振动的影响
2
则振动规律为：
g 980 49.5rad / s
yst
0.4
y 0.4sin(49.5t )
2
y 2.86sin(49.5t 0.14)
比较结果可知，h＝10cm时的振幅位移是h＝0的7倍
作业
[1] 求结构的自振频率。
EI
k
L
L/2
[3] 求结构的自振频率。
m
[2]列出图示结构的运动方程并求图示
a 程中要产生能量的损耗，称为阻尼。
粘滞阻尼
t
FR t cy
C —— 称为阻尼系数
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
y(t) c km
有阻尼模型
其中: k称为阻尼比
cr —— 临界阻尼系数
y
二阶常微分方程可变为：
ky m
my
cy
y 2 y 2 y 0
一、有阻尼的自由振动
m EI
解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法）
l/2
l/2
P 1
l3
48EI
48EI
l3m
T 2
l/4
[思考] 比较图示结构的自振频率
m
m
m 2 ml3
48EI
(a)<(b)<(c) m
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
(a)
(b)
(c)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[13-7] 为了计算自由振动是质点在任意时刻的位移，除了 要知道质点的初始速度之外，它还需要知道些什么？
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[1] 求图示结构的自振频率。
EI
L/2 P=1
k
L
L/2
k
M1图
3/2
解： 画M1图；由M1图求得 ；由 求得 。
1 (LL L 3 L L L 1 3 L) 3 3
EI
结构的自振频率。
EI
EI
2m
k
m
L/2
L/2
L/3
L
m EI L
作业
思考题P286页 13-1，13-2，13-4，13-5，13-6，13-7 [13-1] 结构静力计算和动力计算的主要区别是什么？
[13-2] 结构静力自由度和动力自由度的概念有何异同？ [13-4] 在建立振动方程时，如考虑重力的影响，动位移的 方程有无改变？ [13-6] 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构那 些固有量有关？
阻尼对固有振动蘋率的影响
3）阻尼对自由振动 衰减速率的影响 如图右
具有四种阻尼水平体系的自由振动
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
3 两个连续峰值之比与阻尼比之间的关系
振幅为 ae随时t 间衰减相邻两个振幅的比。
yk 1 yk
ae(tk T ) aetk
eT
常数
ln yk T 2
yk 1
arctg( 0.4 ) arctg0.141 0.14rad
2 10
则振动规律为：
y 2.86sin(49.5t 0.14)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
2. 如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地 放置在梁中点，求该系统的振动规律。
st yst W
A yst 0.4cm arctg()
r
对数递减率：
ln yk 2
yk 1
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
4 阻尼比的测定 对数递减率：
ln yk 2 yk1 1 2
当 0.2，则 1 r
1 r ln yk 1 ln yk 2 yk1 2 yk1
2
对数衰减率与阻尼比之间 的精确和近似关系
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
1 ( L L 1 2 L L L 1 2 L) 2 L3
EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2
4EI
4EI 2mL3
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[2] 列出图示结构的运动方程。
EI
2m
k
m
L/2
L/2
L/3
(t )
2my1 1 k
2 my2
解：是单自由度体系。 以 建(t立) 位移方程。
令为r
令： r 1 2 (低阻尼体系的自振圆频率)
一般建筑物ξ很小，约0.01～0.1 。像我们感兴趣的房屋、 桥梁、水坝、核电站、海洋结构等都属这一类；
r
汽车减震系统，阻尼通常小于临界阻尼的一半ξ＜0.5
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
则微分方程通解为：
实部
虚部
y et C1 cosrt C2 sinrt
mW
60
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.3] 如图所示简支梁，将一重为W的物体从高 h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。
W
设： y Asin(t )
yst
y
h
其中： g
yst
y
解:自由落体后，梁以一定的
初速度上下作自由振动， 其振动平衡位置为 yst 。
st yst W
13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答
原方程： my ky 0 y k 2 y 0 (令： k )
m
m
通解为： y(t) C1 sin t C2 cost
由初始条件： y(0) y0 C2 y0
解为：
y(t)
y0
cos t
v0
sin t
y(0)
v0
C1
v0
y(t)
T
y0
m 2
W
g
2
st g
k 1 g g m m W st
① ω和T只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；
② T与质量成正比，质量越大，周期越大；与刚度成反比， 刚度越大，周期越小。要改变ω和T，只能改变质量和刚度。