专题五 解析几何专项训练一、选择题1．设双曲线C: 32x －y 2=1的右焦点为F,直线l 过点F 且斜率为k, 若直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交,则直线的斜率的取值范围是 ( ) A. k ≤－21 或k ≥21 B. －21<k<21 C.k<－21或k>21 D. －21≤k ≤21 2.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3CD ．923．F 1，F 2是椭圆1222=+y x 的左右两个焦点，过F 2作倾斜角为4π的弦AB ，则△F 1AB 的面积为（ ）A ．34 B ．332 C ．334 D ．1324-4．我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，测得近地点A 距地面200公里，远地点B 距地面350公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大视角为）（A ）67216371arcsin2 （B ）65716371arcsin 2 （C ）67216371arccos 2 （D ）65716371arccos 25．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是DA. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[ 6.已知点F 1、F 2为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，P 为右支上的一点，点P 到右准线的距离为d ，若||1PF 、||2PF 、d 依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）（A ）]32,1(+ （B ）]3,1( （C ）),32[+∞+ （D ）]32,22[+-7.已知P 是椭圆252x +92y =1上的点,Q 、R 分别是圆(x+4)2+y 2=41和(x - 4)2 +y 2=41上的点,则|PQ| + |PR|的最小值是( )A.89 B. 85 C. 10 D. 98. 在平面解析几何中，若直线l 过点),(00y x 且法向量为),(B A n =→，那么l 方程为：0)()(00=-+-y y B x x A ；类比到空间，若平面α过点（-1，2，1）且法向量为)1,4,1(--=→n ，那么可写出平面α的方程是（ ）A.0104=++-z y xB. 0104=-+-z y xC.0104=+--z y xD. 064=-+-z y x 二、填空题9．（2005年成都市零诊理15）双曲线048124322=-+--y x y x 按向量m 平移后的双曲线的方程为13422=-y x ，则平移向量=__________.10.已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .11.已知直线1)13()2(--=-x a y a ，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是 。

12.（08江西理15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ． 三、解答题13．设有定点A （0，2），B （2-，0），长为2的线段CD 在直线x y =上滑动.求直线AD 和BC 的交点M 的轨迹方程.14．直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求 出k 的值；若不存在，说明理由.分析：本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力.15．已知直线1+-=x y 与椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上. （１）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.16．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点为A （1,0-），且右焦点F 到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求该椭圆的方程；（2）在椭圆内是否存在这样的定点P ：过点P 的直线与椭圆交于M 、N 两点，使得⋅=0？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.专题五 解析几何专项训练参考答案一、选择题 1.B2.解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。

依题设P 在抛物线准线的投影为'P ,抛物线的焦点为F ,则1(,0)2F ,依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|'|||PP PF =,则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和||||||2d PF PA AF =+≥==选A.3． 过F 2倾斜角为4π的直线为l ：y=x －1。

设A （x 1 , y 1）, B(x 2 , y 2) 则y 1 , y 2是方程3y 2+2y －1=0的两根。

S △F A B = 2122121214)(||||21y y y y y y F F -+=-⋅即知选A 4.B 5.D6.本题难度较大，对考生思维能力及对知识的整体性和综合性把握要求比较高.本题要求灵活运用双曲线的第一定义和第二定义、数形结合的思想以及函数与方程的思想. 由已知：a d PF a PF PF PF d PF 2||2||||||||222112+=⇒⎩⎨⎧=-+=两边同除以d ，由双曲线第二定义有：dae 21+= ①， 可知e 是关于d 的减函数. 注意到),[2+∞-∈caa d ，排除C 、D ； 当ca a d 2-=时e 最大，代入①并化简得：0142=+-e e ，计算知选A. 7.D8.由平面类比到空间，只需把握平面类比到空间对应元素的对应关系即可. 由于平面内过点),(00y x 且法向量为),(B A n =→的l 方程为：0)()(00=-+-y y B x x A ，所以空间过点（-1，2，1）且法向量为)1,4,1(--=→n 的平面α的方程类比为：01040)1()1()2()4()]1([1=+--⇔=-⋅-+-⋅-+--⋅z y x z y x ，故选C.二、填空题9. 048124322=-+--y x y x 12)1(4)2(322=---⇔y x13)1(4)2(22=---⇔y x ，是中心为点M （2，1）的双曲线，故=)1,2(--=MO .点评：本题短小精悍、绵里藏针、暗藏杀机！学生失分严重，究其根源，一是学生自觉使用1配方法化一般形式为标准形式的意识差，二是向量知识储备不充分. 10.设线段AB 的中点为C ，如图，则 |PA|=|PB|，故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2>|AF|，由椭圆定义知点P 的轨迹是以A 、F 为焦点、长轴为2的椭圆13422=+y x . 如果将点A 设置在圆外，则动点P 的轨迹方程又是什么呢？读者不妨按本题思路尝试一下.（答案：双曲线）11.显然直线经过定点)53,51(，又当2=a 时，51=x ，不经过第二象限，当2≠a 时，a x a a y -+--=21213要使直线不经过第二象限，只需2021>⇒<-a a，综上2≥a 。

12.方法一：依题意得)2,0(p F ，直线方程为x py 30tan 2=-，即p y x 233-=，代入抛物线方程得0435322=+-p py y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 3521=+，又p y y py p y BF AF AB ++=+++=+=212122，且)(21212112p y y AB y y ++==-，即p y y =-123。

p py BF p p y AF p y p y 22,322,23,612121=+==+===∴，故31=BF AF 方法二：（圆锥曲线统一的焦半径公式）直线AB 倾角为30⇔抛物线22(0)x py p =>对称轴到AB 的角θ=0120，由于1=e ，焦点到准线的距离为p ，故由圆锥曲线统一的焦半径公式及A 在y 轴左侧知：p pp FA p p FB 2120cos 1)120180cos(1||,32120cos 1||0000=+=+-==-=， ∴31=BFAF 三、解答题13.解：设M （y x ,），据线段CD 在直线x y =上滑动，设C （t t ,），则D )1,1(++t t 由A ，D ，M 三点共线得：112+-=-t t x y ① 由B ，C ，M 三点共线得：22+=+t tx y ② 联立①，②消去t 得： 04222=--+xy y x 即2±=-y x ，故由几何性知，所求轨迹为直线x y =下方的直线2-=x y .14.解：（1）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.0220220)2(8)2(0222222-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是 （2）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((,0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即 整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及26=c 代入③式化简得.066252=-+k k 解得566+-=k ，))(2,2(566舍去或--∉-=k ，可知566+-=k 使时满足题设. 点评：注意“直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点”并不等价于“直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线交于不同的两点”，前者需转化为方程的根的分布问题.15.解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由 得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,根据韦达定理，得 ,22)(,2222212122221ba b x x y y ba a x x +=++-=++=+∴线段AB 的中点坐标为（222222,b a b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a b a b b a a =∴-==∴=+-+故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则 解得 b y b x 545300==且，由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x 故所求的椭圆方程为14822=+y x16.解：（1）由已知：b=1，设F （c ，0），则c>0,且232|22|=⇒=+c c3222=+=∴c b a ⇒椭圆方程为1322=+y x（2）假设存在满足条件的直线b kx y l +=:，设),(),,(2211y x N y x M .联立：0)1(36)31(03322222=-+++⇒⎩⎨⎧=-++=b kbx x k y x b kx y0130)1)(31(1236222222>+-⇒>-+-=∆b k b k b k且123)1(3,136221221+-=+-=+k b x x k kbx x ①0)1)(1(111121212211=+++⇔-=+⋅+⇔-=⋅⇒⋅y y x x x y x y k k AN AM∵0)1())(1()1)(1()1)(1(2212122121=+++++=++++=++b x x b k x x k b kx b kx y y ∴ 0)1())(1()1(221212=++++++b x x b k x x k ② 将①代入②得：0)1(136)1(13)1(3)1(22222=+++⋅+++-⋅+b k kbb k k b k 显然01≠+b （否则直线l 过点A ），故有：0)13)(1(6)1)(1(3222=+++--+k b b k b k2101336333322222=⇒=++++---+⇒b k b b k b k k b b k ∴直线21:+=kx y l 经过椭圆内的定点)21,0( ∴存在满足条件的椭圆内的定点)21,0(.。