新 课 标 2013 届 高 考 模 拟 试 卷（ 理 科 数 学）考试时间：120分钟 满分：150分 出题者：秦庆广一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若ii m -+1是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D 22．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂=( ) A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( )A ．21B ．22 C ．2D ．25．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25C ．-5D ．4 6．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．012=+-y x B ．012=-+y x C ．022=-+y x D ．022=+-y x7．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是( )①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④ 8．已知6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1B ．1-C ．63D ．629．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211．△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R AB AC AD ∈+=λλ，则AD 的长为( ) A ．1B ．3C ．32D ．312．在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．68 B ．π6 C ．24πD ．6π二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，B=3π中，且34=⋅,则△ABC 的面积是 14．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是15．已知向量,满足：2||,1||==，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量与的夹角是16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图 侧视图 俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令 2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。
现从甲、乙两袋中各任取2个球。
（Ⅰ）用ξ表示取到的4个球中红球的个数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）求取到的4个球中至少有2个红球的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .(Ⅰ)证明：平面⊥PBC 平面PBD ；(Ⅱ)若1=PD ，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。
20．(本小题满分12分)已知双曲线:C 22221x y a b-=(0,0)a b >>与圆22:3O x y +=相切，过C 的一个焦点且斜率为3的直线也与圆O 相切．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）P 是圆O 上在第一象限的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A 、B 两点，AOB ∆的面积为32，求直线l 的方程．21．（本小题12分） 已知函数14341ln )(-+-=xx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，求实数b 的取值范围。
请考生在第23~24两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点M 的极坐标为(4,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为 圆心、4为半径。
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()1.f x x x a =++-. （Ⅰ）若2a =，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）如果,()3x R f x ∀∈≥，求a 的取值范围。
新课标2013届高考模拟试卷答案（理科数学）题号1 23 4 5 6 7 8 91011 12 答案 C DBBDAACCCCD二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13. 6 14. ［0，4］ 15．32π 16．8－32π三、解答题：（本大题共6小题，共70分） １７（Ⅰ）设数列的公比为，由已知，得， ……………………………………2分即，也即解得………………………………………………………………………5分 故数列的通项为． ………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴， …………8分又，∴是以为首项，以为公差的等差数列 ……………10分∴即． ……………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）：223422559(0)50C C P C C ξ=== ，21112332442222555512(1)25C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅= 1112232442222255553(2)10C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅= ，124222551(3)25C C P C C ξ===随机变量ξ的分布列为1239501225310125数学期望65E ξ=………………………………………8分（Ⅱ）所求的概率3117(2)(2)(3)102550P P P ξξξ=≥==+==+=………………12分19(Ⅰ) 证明： ∵222BD AD AB +=∴BD AD ⊥又∵PD ⊥底面ABCD ∴AD PD ⊥又∵D BD PD =⋂ ∴⊥AD 平面PBD 又∵AD BC //∴⊥BC 平面PBD ∵⊂BC 平面PBC∴平面⊥PBC 平面PBD ……………………………………………6分 (Ⅱ)如图，分别以DA 、DP 、DB 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则)0,0,1(A ，)0,3,0(B ，)1,0,0(P ，)0,3,1(-C )1,0,1(-=，)0,0,1(-=，)1,3,0(-= 设平面PBC 的法向量为，⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00BP n BC n 解得)3,1,0(=46sin ==θ……………………………………………12分 20解：（Ⅰ）∵双曲线C 与圆O 相切，∴a = ………………2分 过C的一个焦点且斜率为O 相切，得2c =，既而1b =故双曲线C 的方程为2213x y -= ………………………………5分（Ⅱ）设直线l ：m kx y +=，)0,0(><m k ，),(11y x A ，),(22y x B 圆心O 到直线l 的距离12+=k m d，由d =2233m k =+………6分由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得222(31)6330k x kmx m -+++= 则122631kmx x k +=--， 21223331m x x k +=- ……………8分1221x x k AB -⋅+==2121224)(1x x x x k -+⋅+==又AOB ∆的面积12S OP AB =⋅==∴AB = …………10分= 解得1-=k，m = ∴直线l的方程为y x =-分 21解： （I ）14341ln )(-+-=xx x x f )0(>x ， 22243443411)(x x x x x x f --=--=' ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（II ）若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分[]2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-； 当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-；当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．11分 解得1b < 或1412b ≤≤ 或 b ∈∅即14b ≤，所以实数b 的取值范围是14,⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 23.解（Ⅰ）直线l 的参数方程是11,235x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数） 圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=。