基底标高以上天然土的 加权平均重度 (天然地面起）
桥台前后填土引起的基底附加应力计算
椎体也是填土
4-13 竖向附加应力系数 竖向附加应力系数 (p 94 表4-1)
p02 2 2 H 2
p01 1 1H1
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和 固体力学都有贡献。
基底 压力 合力 与总 荷载 相等
pmin 0
p max
p max
p max
2P 2P 3KL 3(B 2 e ' )L
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e’>B/6: 出现拉应力区
1)竖向静力平衡
F + G = 基底压力的反力合力Fa
F B Ke x L
K=B/2-e
2)基底压力重新调整后
3K y p min 0
e’ Fa
2(F G) 2(F G) 3KL 3(B 2 e ' )L
p max
注意：
偏心荷载作用下（e>l/6）时，偏心距e’的确定： 错误：e = 力作用点距离中心线的距离 正确：由于e>l/6，因此基底压力重新分布，e’ = M/(F+G)
§4 土中应力
第一节
概述
土中的应力主要包括：土体本身的重量产生的自 重应力；建筑物荷载引起的附加应力；土中渗透 水流引起的渗透应力。本章将只介绍自重应力和 附加应力。
计算地基应力时，一般将地基看作是一个具有水 平界面，深度和广度都无限大的空间弹性体。
§4 土中应力
土中应力符号的规定
zx
材料力学
Z γ2 H 2
γ3
H3
重度：地下水位以上用天然重度γ 地下水位以下用有效重度γ’
6
§4 土中应力
3. 分布规律
§4.2 自重应力
自重应力分布线的斜率是重度； 自重应力在等重度地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。


均质地基
1 (
pmax p （P G）A
单项偏心，偏心距e
矩形面积中心荷载
矩形面积偏心荷载
P 6e pmax 1 A B min
偏心荷载
三角形形心点
p( x , y )
P Mx y M y x A Ix Iy
M x P ey ; M y P ex
p max
dx
dy
z
3P z3 3P 3 z 5 cos 2 2 R 2 R
x X y z
M(x、y、z)
P
y
z
r
o R Z
半空间表面
xy
zx
zx
xz
y
yx
xy
x
R r2 z2
3P z 3 z 5 2 R
3P z3 3 1 P z 2 (r 2 z 2 )5 / 2 2 [(r / z ) 2 1]5 / 2 z 2
基底压力的 分布形式十 分复杂
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
§4 土中应力 3、 基底压力的简化计算
中心荷载作用下矩形基础
F G p A
F = 竖向作用力，kN G = GAd，基础及其上回填土的总重力，kN G = 基础及上部回填土的平均重度，一般为20 kN/m3, 地下水位以下取有效重度G’ d = 基础埋深，设计地面或室内外平均地面算起
基底压力分布为三角形，其形心离中心线 距离为e’
3)偏心荷载F、反力合力Fa对 中心线力矩平衡
Fa × e’=F*e 所以: e’=F × e/Fa =F × e/(F+G) 4)调整后压力分布三角形高为3K，面积为 1/2 × 3K × L × Pmax=Fa=(F+G) 所以: Pmax = 2(F+G)/3kL=2(F+G)/(3L(B/2-e’))
3 1 2 [( r / z ) 2 1]5 / 2
P z 2 z
= 集中应力系数
类似p.100 例题4-2 例题4-1 土体表面作用一集中力P=200kN，计算地面深度 z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用点 r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。 [解] 列表计算见表4-1和4-2。
P
P
P B
p( x) P G Mx B I
条 形
B
p P B
B
P Pv Ph
矩形基础上的集中荷载
P B P B
P Mx y M y x p( x , y ) A Ix Iy
M x P ey ;
x y
L
x
ey ex y
pmin
L
M y P ex
关于土中附加应力的讨论
1. 荷载大小相同、分布面积不同，延中心线某深度处，附加应力是否相同？
思考： 影响深度是否相同？
回答：
位移的计算
X、Y、Z 轴方向的位移：
F (1 ) xz x u (1 2 ) 3 2 E R R( R z ) F (1 ) yz y v (1 2 ) 3 2 E R R( R z ) F (1 ) z 2 1 w 2(1 ) 3 2 E R R
表4-1 z=3m处水平面上竖应力计算 r(m) 0 1 2 3 4 5
r/z
0
0.478 10.6
0.33
0.369 8.2
0.67
0.189 4.2
1
0.084 1.9
1.33
0.038 0.8
1.67
0.017 0.4

z(kPa)
表4-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算 z(m) 0 0 0 1 1 0.084 16.8 2 0.5 0.273 13.7 3 0.33 0.369 8.2 4 0.25 0.41 0 5.1 5 0.20 0.43 3 3.5 6 0.17 0.44 4 2.5
§4 土中应力 完全柔性基础
均布荷载
非均布荷载
基底压力形状、大小同外部荷载
§4 土中应力
弹塑性地基，有限刚度基础
§4.3 基底压力计算
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基 粘性土地基
— — — —
接近弹性解 马鞍型 抛物线型 倒钟型
§4 土中应力
条形基础的基底压力
p( x ) 2Q 1 B 1 ( 2 x / B )2
r/z
z(kPa)
应力扩散球

竖向集中荷载下地基中附加应力的分布规律：
r o P 地面 P z1 z2 r=0 z3
z
z
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴 线处最大，随着距离中轴线愈远愈小； (3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
1、定义 附加应力是由于外荷载作用，在地基中产生 的应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在 深度和水平方向上都是无限延伸的。
基底附加应力的计算
p0 p ch p m h
m ( 1h1 2h2 ...) /(h1 h2 ...)
§4.3 基底压力计算
Timoshenko S., Good J.N. (1951). Theory of elasticity. 2nd Ed., McGraw-Hill, N.Y.
Q = 集中荷载；B = 基础宽度 x = 距基础中心的水平距离
1 1 ( 2 y / L )2
矩形基础的基底压力
二、竖向集中力作用时的地基附加应力 布辛奈斯克解答 假设：
1、半无限空间 2、荷载作用在地基表面 3、地基土弹性、均质、各向同性 4、不考虑基础刚度 P 5、基底光滑
x
r
x R z y dz dzy dyz dzx
r x 2 y2
R r 2 z2
y
M
dxz
dyx dxy
基底压力
基底压力：基础底面传递给地基表面的压力， 也称基底接触压力。 基底压力 计算地基中附加应力的外荷载 计算基础结构内力的外荷载
附加应力
地基沉降变形
上部结构自重及荷载通过基础传到地基之中
§4 土中应力
一. 影响因素
§4.3 基底压力
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件 基底压力
•刚度 •形状 •大小 •埋深
M x P ey ; M y P ex
p max
2P 2P 3KL 3(B 2 e ' )L
3 基底压力的简化计算
竖直中心
矩 形
P
B
竖直偏心
P x y o B
p( x, y)
倾斜偏心
P
L
L
B
L
p （P G）A
P G Mxy M yx A Ix Iy
P Pv Ph
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
§4 土体中的应力计算
二.基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载 弹性地基，完全柔性基础 基础抗弯刚度EI=0 → M=0；
§4.3 基底压力计算
基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。 弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。