圆的证明与计算1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D.（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若PA＝45PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长.第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB，第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠OAP＝∠OBP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB为⊙O的半径，(2)解：∵PA ＝45PO ，⊙O 的半径为10，∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45PO ）2＝10，解得PO ＝503， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝ODAO，∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝323.2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若cos C ＝35，AC ＝24，求直径AE 的长.第2题图(1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，第2题解图∵DA ＝DC ， ∴CF ＝12AC ＝12，在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝35，∴DC ＝20， ∴AD ＝20，在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即AE20＝1620，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25.3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ；（2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．第3题图（1）证明：如解图，连接BE，OE．第3题解图∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．∵AB=BC，∴点E是AC的中点，∵点O是AB的中点，∴OE∥BC，∵EF是⊙O的切线，∴EF⊥OE．∴EF⊥BC；（2）解：如解图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∵CD=2，tan C=CDAD2，∴AD=4．设AB=x，则BD=x－2．在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2=AD2+BD2，即x2=42+（x－2）2，解得x=5，即AB=5，∴⊙O的半径为25．4.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.（1）求证：∠DAC＝∠DCE；（2）若AB＝2， sin D＝13，求AE的长.第4题图 (1)证明：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠DAC ＝∠ABC . ∵OC ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠OCB ， 又∵∠DCE ＝∠OCB ， ∴∠DAC ＝∠DCE ； (2)解：∵AB ＝2， ∴AO ＝1.∵sin D ＝AO OD ＝13，∴OD ＝3，DC ＝2， 在Rt △DAO 中，由勾股定理得AD ＝OD 2－OA 2＝22， ∵∠DAC ＝∠DCE ，∠D ＝∠D ， ∴△DEC ∽△DCA ， ∴DC DA ＝DE DC， 即222＝DE2， 解得DE ＝2， ∴AE ＝AD －DE ＝ 2.5.如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径OA 的中点，过点D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ，且BC 是⊙O 的切线. （1）求证：CE ＝CB ；（2）连接AF ，BF ，求∠ABF 的度数；（3）若CD ＝15， BE ＝10，DE AE ＝513，求⊙O 的半径.第5题图(1)证明：如解图，连接OB，第5题解图∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠CBE＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB+∠CBE＝90°，又∵CD⊥OA，∴∠OAB＋∠DEA＝90°，又∵∠CEB＝∠DEA，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝CB；(2)解：如解图，连接OF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°，∴∠ABF＝12∠AOF＝30°；(3)解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G，∵CD⊥OA，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴DE AE ＝EG CE ＝513， ∵CE ＝BC ， ∴BG ＝EG ＝12BE ＝5，∴CE ＝13，∴DE ＝CD －CE ＝2，∴AE ＝265，∴在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD 22DE AE -=＝245，∴OA ＝2AD ＝485，∴⊙O 的半径为485.6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DC ，分别延长BA ，CD 交于点E ，作BF ⊥EC ，交EC 的延长线交于点F ，连接BD .（1）求证：△BFC ∽△BDA ； （2）若AE ＝AO ，求cos ∠ADE ；（3）在（2）的条件下，若BC ＝6，求BF 的长.第6题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA ＝90°. ∵BF ⊥EC ， ∴∠BFC ＝90°，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，(2)解：如解图，连接OD ，AC ，第6题解图∵△BFC ∽△BDA ， ∴BF BD ＝BC AB， ∵OD 是⊙O 的半径，AD ＝CD ， ∴OD 垂直平分AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∴OD ∥BC ， ∴△EOD ∽△EBC ，∴OE BE ＝OD BC， ∵AE ＝AO ，即OE ＝2OB ，BE ＝3OB ， ∴OD BC ＝BE OE 23， ∴BC ＝32OD ，∴BF BD ＝BC AB ＝32OD2OD ＝34， ∵∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＋∠BDF ＝90°， ∵∠BDF ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DBF ，∴cos ∠ADE ＝34；(3)解：∵BC ＝32OD ，BC ＝6，∴OD ＝4， ∴AE ＝4，BE ＝12， ∵△EOD ∽△EBC ，∴DE CE ＝OD BC， ∴CE ＝32DE ，又∵∠EDA ＝∠EBC ，∠E ＝∠E ， ∴△AED ∽△CEB ，∴AE CE ＝DE BE， ∴DE ·CE ＝AE ·BE ， ∴DE ·32DE ＝4×12，∴DE ＝42(负值舍去)， ∴CD ＝22，∴AD ＝22， ∵△BFC ∽△BDA ， ∴CF BC ＝AD AB ，∴CF 6＝228， ∴CF ＝322，在Rt △BCF 中，根据勾股定理得， BF ＝BC 2－CF 2＝3142.7.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过»BD上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连（1）求证：△ECF∽△GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；3，AH=3，（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=4求EM的值．第7题图（1）证明：∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴»AD=»AC，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE；（2）证明：如解图，连接OE，第7题解图∵GF =GE ，∴∠GFE =∠GEF =∠AFH ， ∵OA =OE ， ∴∠OAE =∠OEA ， ∵∠AFH +∠FAH =90°， ∴∠GEF +∠AEO =90°， ∴∠GEO =90°， ∴GE ⊥OE ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴EG 是⊙O 的切线； （3）解：如解图，连接OC ， 设⊙O 的半径为r ． 在Rt△AHC 中， tan∠ACH =tan∠G =HC AH =43， ∵AH =3， ∴HC =4．在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r －3，HC =4， ∴（r －3）2+42=r 2， 解得r =625， ∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ， ∵∠OEM =∠AHC=90°， ∴△AHC ∽△MEO ， ∴OEHCEM AH =， 即62543=EM， ∴825=EM ． 8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，过点C 的直线CD ⊥BG 交BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ，且BC平分∠ABD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若32=FD OF ，求∠E 的度数； （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =23，求AD 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OC ，第8题解图∵OC =OB ，BC 平分∠ABD ， ∴∠OCB =∠OBC ，∠OBC =∠DBC ， ∴∠DBC =∠OCB ， ∴OC ∥BD ， ∴∠BDC =∠ECO ， ∵CD ⊥BD ， ∴∠BDC =90°， ∴∠ECO =90°， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）知，OC ∥BD ， ∴∠OCF =∠DBF ，∠COF =∠BDF ， ∴△OCF ∽△DBF ， ∴DB OCFD OF =， ∵32=FD OF ， ∴32=DB OC ， ∵OC ∥BD ， ∴△EOC ∽△EBD ， ∴EB EOBD OC =， ∴32=EB EO ，设OE =2a ，则EB =3a ， ∴OB =a ， ∴OC =a ，∵∠OCE =90°，OC =21OE ， ∴∠E =30°；（3）解：∵∠E =30°，∠BDE =90°， ∴∠EBD =60°， ∵BC 平分∠DBE ，∴∠OBC =∠DBC =EBD ∠21=30°， ∵CD =23， ∴BC =43，BD =6， ∵32=DB OC ， ∴OC =4，如解图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ， ∴∠DMB =90°， ∵BD =6，∠DBM =60°， ∴BM =3，DM =33， ∵OC =4， ∴AB =8， ∴AM =AB －BM =5，∵∠DMA =90°，DM =33， ∴AD =13222=+AM DM ．9．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相交于点D ，与AB 交于点E ，AD 平分∠FAB ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线； （2）求证：AE =AF ；（3）若DE =3，sin ∠BDE =31，求AC 的长．第9题图（1）证明：如解图，连接OD ．第9题解图∵AD 平分∠FAB ， ∴∠CAD =∠DAB ， ∵OA =OD ， ∴∠DAB =∠ODA ，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线；（2）证明：由（1）知OD∥AC，∴∠ODE=∠F．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠OED=∠F．∴AE=AF；（3）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．∴∠DAF+∠F=90°，∵AE=AF，∴DF=DE=3．∵∠ACB=90°，∴∠CDF+∠F=90°，∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．在Rt △ADF 中，31sin sin =∠=∠=BDE DAF AF DF ， ∴AF =3DF =9． 在Rt △CDF 中，31sin sin =∠=∠=BDE CDF DF CF ， ∴131==DF CF ． ∴AC =AF －CF =8．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是⊙O 的切线； （2）若AE=AH ，求EFFD的值； （3）若EA =EF =1，求⊙O 的半径．第10题图（1）证明：如解图，连接OD ，第10题解图∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ， ∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB ， ∴∠ODB =∠ACB ， ∴OD ∥AC ， ∵DH ⊥AC ， ∴DH ⊥OD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DH 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠E =∠B ，AB =AC ， ∴∠E =∠B =∠C ， ∴ED =DC ， ∵DH ⊥EC ， ∴EH =CH ， ∵AE =AH ， ∴AE =31AC ， ∵AO =BO ，OD ∥AC ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD =21AC ， ∴23AE OD ，∵AE ∥OD ， ∴△AEF ∽△ODF ， ∴23==AE OD EF FD ； （3）解：设⊙O 的半径为r ，即OD =OB =r ， ∵EF =EA ， ∴∠EFA =∠EAF ， ∵OD ∥EC ， ∴∠FOD =∠EAF ，则∠FOD =∠EAF =∠EFA =∠OFD ， ∴DF =OD =r ， ∴DE =DF +EF =r +1， ∴BD =CD =DE =r +1，在⊙O 中，∵∠BDE =∠EAB ， ∴∠BFD =∠EFA =∠EAB =∠BDE ， ∴BF =BD =r +1，∴AF =AB －BF =2OB －BF =2r －（1+r ）=r －1， ∵∠BFD =∠EFA ，∠B =∠E ， ∴△BFD ∽△EFA ， ∴FD BFFA EF =， ∴rr r 111+=-，解得r=251+（负值已舍），∴⊙O的半径为251+．。