2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷及答案考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导 3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxf d ，则成立（ ）.()A ()()0101f f dxdf dx df x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf ()D ()()1001==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面()B 柱面 ()C 圆锥面()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)1.计算_________________2sin1lim=→xxx2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dxx df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dxd7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos yx z +=,则._________________________=∂∂xz9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰x dy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.计算xe xx 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xex.5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f .6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=102dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dxdydxyd =+22的通解.8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx y x y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分.报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分)1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.《高等数学(一)答案二..填空题:(每小题4分,共40分) 1.21; 2. 2; 3.x1; 4. )3,1(-; 5.211x+;6. ()x f -;7.332π; 8. ()22sin 2yx x +-; 9.()⎰⎰11,ydx y x f dy ;10. 224=+-z y x .三．计算题(每小题6分,共60分) 1.解法一.由洛必达法则,得到1lim1limxx xx exe →→=- …………..4分1=. …………6分解法二.令t e x=-1, 则 ()t x +=1ln ……….. 2分于是, ()11ln lim1lim=+=-→→t t xe t xx . …………6分2.解.x dx dgsin -=, ()xe xf dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= …………3分 故 x edxdy xcos sin --=. ………..6分3. 解法一.令t x =,,则2t x =, ………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdt t t tdtx x dx ……….5分C x +=arctan 2. ……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2. ……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx exedx xexxx……….3分10=-=+∞-xe. ………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---1241212cosxdx dx xdxx f dx x f dxx f ……….3分1sin 532sin 511025+=+=-xx. ……….6分6.解. 设()A dx x f =⎰10,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=1101112122dx x f e A eAdx dx edxx f xx……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11.. ………..5分代入原式得()()e e x f x-+=12. ……….6分7.解.特征方程为02=+k k ，得到特征根1,021-==k k ， ………..1分 故对应的齐次方程的通解为xec c y -+=21， ………..3分由观察法，可知非齐次方程的特解是xe y 21=*， ………..5分因而，所求方程的通解为 xxe e c c y 2121++=-，其中21,c c 是任意常数. ……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n xxxxx x n n, ….3分所以()221ln x x x =+())11432(1432++-++-+-+n xxxxx n n=())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n xxxxx n n. ……..6分9解.()()222,2y x x y x y x y y f y x y y x y x x xf +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, ……….2分 从而()()0,12,02,0=∂∂=∂∂yf xf , ……….4分所以()()()()dx dy yf dx xf y x df =∂∂+∂∂=2,02,02,0,. ………6分10.解.采用极坐标变换,令θθsin ,cos r y r x == ,πθ20,10<≤≤<r , ……..2分()⎰⎰⎰⎰=+132022dr rd dxdyyxDπθ ……….4分2π=. ……..6分四.综合题:(每小题10分,共30分) 1.解法一(1).()⎰-=1dx e e S x……….4分()1110=+-=-=e e eex x. ………..6分(2).()⎰-=122dx eeV xπ………..9分()()1212121222122+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ ………..12分解法二.(1)⎰-=1dx e e S x……….3分110=-=xee . ………..6分(2).⎰-=122dx e e V xππ ……….9分()12221022+=-=eee xπππ. …………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dxdy ,令0=dxdy ,得到 2,021==x x (驻点), …….2分(),1622-=x dxy d 由022=dxy d ,得到13=x , …….3分……..8分 故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间，（0，2）为单调减少区间; ……….10分 极大值为－1，极小值为－5, ……..11分)1,(-∞为凸区间，),1(+∞为凹区间 ………12分3.证明. 令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+= ()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF……….2分 利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ，其中1+<<x x ξ, …….4分所以0111>+-=x dxdF ξ,因此,当0>x 时，()x F 是单调增加的， ………5分而e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→11lim ,所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11. ………..6分。