• (2)几何角度
• 对于向量的长度而言，
• ①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在 原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|a|的|λ|倍；
• ②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线 段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ| 倍．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
o
a
A
ab
b
B
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
ob
B
a
A
C
向量的减法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c
a 5b 2c .
3、把下列各小题中的向 量b表示为实数与向量 a的积
(1)a 3e,b 6e;
(2)a 8e,b 14e; (3)a 2 e,b 1 e;
33
e a 8
e 3a 2
(4)a 3 e,b 2 e;
4
3
e 4a 3
b 2a b7a
4 b1a
2 b 8a
9
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论： 那如么果ab， b是a, 共线向量.
2020/8/14
思考 共线反向过量来，那，么如b果a与a？b是
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
2020/8/14
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
由图知，PN PQ QM MN (a) (a) (a)，记为： 3a
即 PN 3a .显然 3a 的方向与a 的方向相反，| 3a | 3 | a | .
问题：通过上述的具体实例总结出更具一般性
的向量数乘的定义 定义： 一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，
它的长度与方向规定如下：
在物理中位移与速度的关系：s = vt， 力与加速度的关系：f = ma.
其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而时间、质量都是数量．
判一判(判断下列说法的正误) (1)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a是向量．( ) 提示：× 实数与向量不能作加减运算． (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( ) 提示：√ －3a与3a方向相反． (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．(
实数与向量的积的运算律：思考：2(a b)与2a 2b的联系
ab
2(a b)
ab
2b
2(a b) 2a 2b
2a
(a b) a b
根据实数与向量的积的定义，可得运算律：
设 、 为实数，则
(1) (a) ()a ； (结合律)
(2) ( )a a a ；(第一分配律 )
) 提示：√ |－6a|＝6|a|＝2×|3a|.
实数与向量的积的运算律：思考：（3 2a）与6a之间的联系
a 2a
3( 2a )
6a 3(2a) 6a
(a) ()a
实数与向量的积的运算律：思考：(2 3)a与2a 3a的联系
5a
a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
( )a a a
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时，a 0 .
问题：你能说明它数乘意义吗？
• 1．从两个角度看数乘向量
• (1)代数角度
• λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条 件是λ＝0或a＝0.
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
DE 3BC
BC 与DE 共线且BC与DE不在同一直线上 BC // DE
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
(3) (a b) a b . (第二分配律)
向量的加、减、数乘运算统称为向量 的线性运算。
例 5 计算：
(1) (3) 4a；(2) 3(a b) 2(a b) a；
(3) (2a 3b c) (3a 2b c) .
解：(1) (3) 4a (3 4)a 12a；
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b；
(3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB
//
直线CD
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
课本P90 4
4、判断下列各小题中向量a与b是否共线：
(1)a 2e,b 2e; (2)a e1 e2,b 2e1 2e2;
解：a b
a与b共线。
解：b 2a
a与b共线。
例如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
a
b
o
bB
a ab
A
练习：已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
aa aห้องสมุดไป่ตู้
O
A
B
C
a a a
N
M
Q
P
想一想：相同的向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？
由图知，OC OA AB BC a a a，记为：3a 即 OC 3a .
显然 3a 的方向与a 的方向相同，3| 3aa的| 长3度| a是| . a 的长度的3 倍，
E 解： AE AD DE
C
A B
3AB 3BC 3( AB BC)
3AC ，
变式一：
D AC 与AE 共线
如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 试判断 A、C、E三点的位置关系。.
AC 与AE 共线且有公共点A. A、C、E三点共线
例 如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.