数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n−1，其中λ为常数.（Ⅰ）证明：a n+2−a n=λ；（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1.（Ⅰ）证明{a n+12}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1+1a2+⋯+1a n<32.(2015·I)（17）（本小题满分12分）S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3，（Ⅰ）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和。

(2015·II)（4）等比数列{a n}满足a1=3，=21，则( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．(2016·I)（3）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100 （B）99 （C）98 （D）97(2016·I)（15）设等比数列{a n}满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…a n的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1 ，S7=28 记b n=[log a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]= 0，[lg 99]=1.（I）求b1，b11，b101；（II）求数列{b n}的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2,?,a k中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0（I）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（II ）若S n =3132，求λ. (2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推。

求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110(2017·II)15. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑ ．(2017·III)9．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2,a 3,a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8(2017·III)14．设等比数列{a n }满足a 1+a 2=−1, a 1−a 3=−3，则a 4=________． (2018·I)4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=A ．−12B ．−10C ．10D ．12(2018·I)14．记为数列的前项和.若，则_____________．(2018·II)17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． (2018·III)17．（12分）等比数列中，． （1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．(2019·I)9．记为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4=0，a 5=5，则A ．a n =2n −5B ．?a n =3n −10C ．S n =2n 2−8nD ．S n =12n 2−2n(2019·I) 14．记为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=13，a 42=a 6，则S 5=____________．(2019·II)5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ．16B ．8C ．4D ．2(2019·II)14．记为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2=3a 1，则S 10S 5=___________.(2019·III)19．（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4 （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n −b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a n S {}n a n 21n n S a =+6S =n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m n S n S n S数列专题参考答案(2014·I) 17.（Ⅰ）由题设，a n a n+1=λS n−1,a n+1a n+2=λS n+1−1两式相减得a n+1(a n+2−a n)=λa n+1，由于a n+1≠0，∴a n+2−a n=λ………………………………………6分（Ⅱ）a1a2=λS1−1=λa1−1，而a1=1，解得?a2=λ−1，由（Ⅰ）知a3=λ+a2令2a2=a1+a3，解得λ=4。

故a n+2−a n=4，由此可得{a2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n−1=4n−3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n−1。

所以a n=2n−1，a n+1−a n=2因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列。

…………………………………12分(2014·II) 17.（Ⅰ）证明：由a n+1=3a n+1得a n+1+12=3(a n+12)又a1+12=32，所以{a n+12}是首项为32，公比为3的等比数列a n+12=3n2，因此{a n}的通项公式为a n=3n−12（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a n =23n−1因为当n≥1时，3n−1≥2×3n−1，所以13n−1≤12×3n−1于是1a1+1a2+1a3+?+1a n<1+131+132+?+13n−1=1−13n1−13=32（1−13n）<32所以1a1+1a2+1a3+?+1a n<32(2015·I)（17）解：（Ⅰ）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3可得a n+12−a n2+2(a n+1−a n)=4a n+1，即2(a n+1+a n)=a n+12−a n2=(a n+1+a n)(a n+1−a n)由于a n>0，可得a n+1−a n=2又a12+2a1=4a1+3，解得a1=−1（舍去），a1=3所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n=2n+1…………………6分（Ⅱ）由a n=2n+1可知b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)设数列{b n}的前n项和为T n，则T n=b1+b2+...+b n=12[(13−15)+(15−17)+...+(12n+1−12n+3)]=n3(2n+3)…………………………………………………………………………12分(2016·II)17.（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.(2016·III)（17）解：（Ⅰ）由题意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，a1=11−λ，a1≠0.由S n=1+λa n，S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1−λa n，即a n+1(λ−1)=λa n.由a1≠0，λ≠0得a n≠0，所以a n+1a n =λλ−1.因此{a n }是首项为11−λ，公比为λλ−1的等比数列，于是a n =11−λ(λλ−1)n−1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n =1−(λλ−1)n ，由S 5=3132得1−(λλ−1)5=3132，即=-5)1(λλ132， 解得λ=−1． (2018·II)17．（1）设的公差为d ，由题意得． 由得d =2．所以的通项公式为．（2）由（1）得．所以当n =4时，取得最小值，最小值为?16． (2018·III)17.解：（1）设的公比为，由题设得.由已知得，解得（舍去），或.故或.（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.若，则.由得，解得.综上，. (2019·III)19.解：（1）由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n )，即a n+1+b n+1=12(a n +b n )． 又因为a 1+b 1=l ，所以{a n +b n }是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得4(a n+1−b n+1)=4(a n −b n )+8，即a n+1−b n+1=a n −b n +2． 又因为a 1–b 1=l ，所以{a n −b n }是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，a n +b n =12n−1，a n −b n =2n −1． 所以a n =12[(a n +b n )+(a n −b n )]=12n+n −12，b n =12[(a n +b n )−(a n −b n )]=12n −n +12．{}n a 13315a d +=-17a =-{}n a 29n a n =-228(4)16n S n n n =-=--n S {}n a q 1n n a q -=424q q =0q =2q =-2q =1(2)n n a -=-12n n a -=1(2)n n a -=-1(2)3n n S --=63m S =(2)188m-=-12n n a -=21nn S =-63m S =264m =6m =6m =。