19．（1）略；（2）由点 为 的中点，且点 平面 可知，
点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
由四边形 是正方形， ，可得 是三棱锥 的高，
由题意得， ，所以 ，
在△CDG中， ，
设点A到平面CDG的距离为h，则 ，
由 得， ，所以点F到平面CDG的距离为 .
20．（1）略；
（2）由（1）知 、 、 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
二、填空题
13．6114．415． 16．
三、解答题
17．（1）由正弦定理得： ，
∵ ，∴ ，∵ 是 的内角，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，由（1）知 ，∴ ，
由余弦定理得： ，
∴ ，得： ，∴ 的周长为 .
18．（1） ， ，又 ，
数列 是首项、公差均为1的等差数列． ，所以 ；
（2）由（1）得 ， ， ．
直线 的参数方程为： （t为参数）.
（Ⅱ）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得： ，
化简得： ， ， ， ，
由题意得：点 在圆 的外侧下方， ， ， .
23．（1） ，
令
当 时 ，
当 时 ，
当 时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
综上所述
（2） 恒成立等价于
（当且仅当 时取等）
恒成立，
18．在数列 中， ，对 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
19．如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，
四边形 是正方形， ， ，
，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20．如图，在六面体ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且 ，四边形ADEF
为 轴建立空间直角坐标系，如图.可得 、 、 、 ，
故 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，
则 ，得 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，
，
二面角 的是钝二面角，所以二面角 的余弦值为 .
21．（1）当 时， ， ，由 ，解得 ；由 ，解得 ，因此函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2） ，故 ．
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试理科数学试卷
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．复数 （ 为虚数单位），则 等于（）
A．3B． C．2D．
3．下列说法中正确的个数是（）
（1）命题“所有幂函数 的图象经过点 ”.
（2）“在 中，若 ，则 ”的逆否命题是真命题.
15．三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直，且 ，
则三棱锥 的外接球的表面积是___________
16．在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， ，
，点 在边 上，且 ，则线段 长度的最小值为
三、解答题（共70分）
17．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 .
（1）求角 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
当 时，因为 ，所以 ，因此 恒成立，即 在 上单调递增，所以 恒成立．当 时，令 ，解得 ．
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
于是 ，与 恒成立相矛盾．综上，k的取值范围为 ．
（3）由（2）知，当 时， ．令 ，则 + ，即
因此 ≤ ．所以 .
22．（Ⅰ） ， ， ，
曲线 的直角坐标方程为： ， 直线 过点 ，倾斜角为 ，
8．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都是1， 是 的中点，
则异面直线 与 所成角的大小是（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的最小正周期为 ，
则 时，函数 的值域是（）
A． B． C． D．
10．我们把 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），
设 ， 表示数列 的前 项之和，
则使不等式 成立的最大正整数 的值是（）
直角坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 .
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值.
23．设
（1）解不等式 ；
（2）对任意的实数 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1．C2．D3．B4．B5．B6．B7．B8．D9．D10．A11．A12．A
（3）若非零向量满足 ，则 与 的夹角为锐角.
（4）命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
（5）命题“ 则 是 的充分不必要条件”.
A．2B．3C．4D．5
4．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ，
则 （）
A． B． C． D．
5．设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给定下列四个命题：
是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．
（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；
（2）若 中， ，求二面角 的余弦值.
21．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时， 恒成立，求k的取值范围；
（3）设n ，求证： ．
22．已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ， ，则 .
其中真命题是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
6．函数 的大致图像为（）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
函数 的图象，则函数 的图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
11．不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．数列 中，若 ， ，则
14．已知 ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是