根据KCL有
i i1 i2 in du du du du C2 Cn (C1 C2 Cn ) dt dt dt dt du C dt C1
式中C为所有并联电容的等效电容，即
C C1 C2 Cn
2.2.2 电感的串联和并联
1– R1 u31Y R3 u23Y 3– i3Y +
R2 2
R23 3 + – u23 接: 用电压表示电流 2 i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23 i1 +i2 +i3 = 0
故 R=1/G=1
2. 并联电阻的分流公式
i
+ u _ i1 i2 ik in
R1
R2
Rk
Rn
Gk ik i Gk
对于两电阻并联 i i2 i1
R1 R2
电流分配与电导成正比
1 / R1 R2 i1 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2
1 / R2 R1 i2 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2
u31
i3
u12Y
–
i2 + 2 R23 u23 型网络 3 –
+ –
i2Y
R2
+
2
u23Y
Y型网络
3–
型
T型
Y-变换的等效条件
+ i1 u12 R12 R23 u23 – 1 R31 u31 u12Y i2Y + + i1Y
1–
R1 u31Y
– i2
+ 2 3 –
R12 R1 R2
R1 R2 R3
R2 R3 R23 R2 R3 R1 R3 R1 R31 R3 R1 R2 用电导表示 G12G31 G1 G12 G23 G31 G23G12 G2 G12 G23 G31 G31G23 G3 G12 G23 G31
Y接: 用电流表示电压 u12Y=R1i1Y–R2i2Y
(1) u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y= R3i3Y –R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0 (2)
由式(2)解得
i1 Y
i2 Y
i3 Y
u12 Y R3 u31 Y R2 R1 R2 R2 R3 R3 R1 u23 Y R1 u12 Y R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 u31 Y R2 u23 Y R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1
US
U 0
US
_
+
U _ R Ri: 电源内阻， 一般很小。
Ri I
i
一个实际电压源，可用一个理想电压源uS与一个电阻Ri 串联的支路模型来表征其特性。
R12 R1
R31 R3
R2
R23
G12
G1
G2 G23 G3
G31
Y相邻 电导 乘积 G GY
同理可得由 Y 电阻关系:
R12 R31 R1 R12 R23 R31 R23 R12 R2 R12 R23 R31 R31 R23 R3 R12 R23 R31
L为所有并联电感的等效电感，即 1 1 1 1 L L1 L2 Ln
2.3 星形联接与三角形联接的电阻的 等效变换 (Y-变换)
三端无源网络 向外引出三个端钮的网络，并且内部没有独立源。 无 源
+ i1 u12 R12
– 1 R31
+ i1Y
1– R1 u31Y R3 i3Y +
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
(3)
i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1)
得Y电阻关系
R1 R2 R12 R1 R2 R3 R2 R3 R23 R2 R3 R1 R3 R1 R31 R3 R1 R2
1. 电路特点:
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。 R1 i + + u1 Rk _ + u _ k u Rn + un _ _ 等效 i + Req
u uk Req Rk i i
_ u 串联电路的总电阻 等于各分电阻之和。
i( )d
t0
t
i( )d
t0
t
根据KVL有：
u u1 u 2 u n 1 t 1 u1 (t0 ) i ( )d u n (t0 ) C1 t0 Cn

t
t0
i ( )d
1 1 1 t u1 (t0 ) u 2 (t0 ) u n (t0 ) ( ) i ( )d C1 C2 Cn t0 u (t0 ) u1 (t0 ) u 2 (t0 ) u n (t0 ) 1 t 原式 u (t0 ) i ( )d C t0
R2
2 u23Y
R3
3–
i3 + –
i3Y +
等效的条件：
i1 = i1Y i2 = i2Y i3 = i3Y
u12 = u12Y
u23 = u23Y u31 = u31Y
+ i1
u12 – i2 R12
–
1 R31 u31 i3 + – u12Y i2Y +
+ i1Y
2、电感的并联 下图为n个电感并联，每个电感的初始电流分别为 i1 (t0 )、i2 (t0 )、 、in (t0 ) 并联时每个电感电压都相同，分别对每个电感写伏安特性有
i L1 i
+ u -
i1 L2
i2 Ln
in
+
1 t i1 i1 (t0 ) u ( )d L1 t0 1 i2 i2 (t0 ) L2 1 in in (t0 ) Ln
三、电阻的串并联 例1 4
2 3 R 6 40 例2 R 30 R
R = 4∥(2+(3∥6) )= 2
40 40 30 30
30
R = (40∥40)+(30∥30∥30) = 30
四、计算举例
例1 + 12V _
I1
I2 R
I3 R
I4 + 2R U4 _
I 1 12 R
第二章 直流电阻电路的分析和计算
本章制作：姚立海
制作日期：2015年3月
第二章 直流电阻电路的分析和计算
2.1 电阻电路的等效变换（串联和并联） 2.3 电阻的星-三角等效变换
2.4 实际电源模型及其等效变换
2.5 一端口网络的输入电阻
2.6 支路电流法
2.7 回路电流法
2.8 节点电压法
2.1 电阻电路的等效变换
+ + 2R U 2R 2 _1 2R U _
求：I1 , I4 , U4
解： ① 用分流方法做
I 4 1 I 3 1 I 2 1 I 1 1 12 3 2 4 8 8 R 2R
U 4 I 4 2R 3 V
②用分压方法做
U2 1 U4 U1 3 V 2 4 I4 3 I 1 12 2R R
u/Req= i = u/R1 + u/R2 + + u/Rn= u(1/R1+1/R2+ + 1/Rn)
即 1/Req= 1/R1+ 1/R2+ + 1/Rn
Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn= Gk= 1/Rk
等效电导等于并联的各电导之和
R入=?
1.3
6.5
13
R入=1.3∥6.5∥13 由 G=1/1.3+1/6.5+1/13=1
C为所有串联电容的等效电容，即 1 1 1 1 C C1 C2 Cn
2、电容的并联 下图为n个电容并联，在并联情况下所有电容的电 压都相等，并且所有电容电压的初始电压也相等，即
+ u -
i C1 i1 C2 i2 Cn in
+ u -
i C
(a)
(b)
u1 (t0 ) u2 (t0 ) un (t0 )
u L (b)
u ( )d
t0
t
(a)
u ( )d
t0
t
根据KCL，有
i i1 i2 in 1 t 1 i1 (t0 ) u ( )d in (t0 ) L1 t0 Ln

t
t0
u ( )d
1 1 1 t i1 (t0 ) i2 (t0 ) in (t0 ) ( ) u ( )d L1 L2 Ln t0 i (t0 ) i1 (t0 ) i2 (t0 ) in (t0 ) 1 t 原式 i (t0 ) u ( )d L t0
1、电感的串联 下图为n个电感串联，每个电感的初始电流相同，即：
i +
L1
L2 u
Ln + un -
i
L + u (b)
+ u1 - + u2 (a)
i1 (t0 ) i2 (t0 ) in (t0 ) i(t0 )
根据KVL，总电压为