信号系统Z 变换习题讲解7-1 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[](1/2)[]n x n u n = （2）[]2[]n x n u n = （3）[](1/2)[]n x n u n =- （4）[](2)[]n x n u n =- 解：7-2 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[][]x n nu n =-- （2）[]2[]n x n u n -= （3）[](1/2)[]n x n u n -=- （4）[](1/2)[]n x n u n =-- 解：01234n(1)01234n(2)(3)01234n[n ]-1-4n(2)(1)(4)7-3 分别绘出下列各序列的图形。
（1）[]sin 5n x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）[]cos 105n x n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：7-5 序列x [n ]如图题7-5所示，把x [n ]表示为δ[n ]的加权与延迟之线性组合。
图 题7-5解： []2[3][]3[1]2[3]x n n n n n δδδδ=-+-+-+-7-7 求下列序列的z 变换X (z )，并注明收敛域，绘出X (z )的零极点图。
（1）(1/2)nu [n ] +δ [n ] （4）(1/2)n {u [n ] - u [n -8]} （5）δ [n ] -15δ [n -2]解：111(1)()[()[][]]()[]221212111222nnnnn n n X z u n n z z n zz z z z z δδ∞∞∞---=-∞==-∞=+=+-=+=>--∑∑∑(2)∞--=-∞=--=--=--==>--∑∑718881711(4)()()([][8])()22111()()22111()22n nn nn n X z u n u n zzzz z zzzδδ∞-=-∞-=--=->∑21(5)()([][2])51105n n X z n n z zz7-8 求双边序列x [n ] =||(1/2)n 的z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。
解：∞-∞----=-∞=-∞=∞∞====+=+=+---=<<--∑∑∑∑∑11111()()()()222(12)11()()221(12)12(32)122(12)(2)nnnnn nn n n nnn n X z zzz z zz zzz z z z z7-11 画出X (z ) =1123252z zz-----+的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左边序列，哪种情况对应右边序列，哪种情况对应双边序列? 并求出各对应序列。
（1）z> 2 （2）z< 0.5 （3）0.5 <z< 2解：----=-+-==--+---==-----∴=--- 11223()2523312522(2)()23()1121122(2)()2()122zX z z zz zz z z z X z z z z z z z zX z z z（1） 当>2z 时，[]x n 为右边序列1[][()2][]2nnx n u n =-（2） 当<0.5z 时，[]x n 为左边序列1[][()2][1]2=-+--nnx n u n（3） 当0.52z <<时，[]x n 为双边序列1[]()[]2[1]2nnx n u n u n =+--7-13 已知X (z ) = 11111(12)2z z --⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（1）确定与X (z )有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图； （2）求以上各种收敛域所对应的离散时间序列的表达式； （3）以上序列中哪一种序列存在傅氏变换?解：--==---- 2111()(112)(12)(12)(2)zX z zzz z==-+----∴=-+--()14(12)(2)3(12)3(2)4()3(12)3(2)X z zzz z z z z zX z z z（1）收敛域可能有三种情况：><<<2,12,122z z z|z|>2|z|<1/2Re(z)（2）对应的序列分别为：1112[][()4(2)][]32nnz x n u n >=-+21112[][()4(2)][1]32nnz x n u n <=---311122[][()[]4(2)[1]]32n nz x n u n u n <<=-+--（3）序列3[]x n 的收敛域包括单位圆，所以此序列存在傅氏变换。
7-14 已知X (z ) =223(1)(2)(3)z z z z z -+-+，若收敛域分别为1 <z < 2和2 <z < 3两种情况，求对应的逆变换x [n ]。
解：223(23)()(1)(2)(3)(1)(2)(3)zzz z X z z z z z z z --==+-++-+ ()23(1)(2)(3)5196(1)15(2)10(3)59()6(1)15(2)10(3)X z z zz z z z z z z z z X z z z z -=+-+=+-+-+∴=+-+-+519(1)12[](1)[][2(3)][1]61510nnnz x n u n u n <<=------519(2)23[][(1)2][](3)[1]61510nnnz x n u n u n <<=-++---7-21 利用卷积定理求y [n ] = x [n ] * h [n ]。
已知（3）x [n ] = R N [n ] = u [n ] - u [n -N ]，h [n ] = a n u [n ]，0< a <1 解：（3）[][][][]Nx n R n u n u n N ==--[][]nh n a u n =1()111()||N z zX z z z z zH z z a z a-+∴=->--=>-根据卷积定理得：1()()()11()1[](1)1111[](1)1111()[](1)11N NNNz zz Y z X z H z z z z aY z z zzz z aa za z a z a z a zY z z az z a-+----==>--=---=------=-----由于[]x n 、[]h n 均为因果序列，因此[]y n 亦为因果序列，根据移位性质可求得11111[][()](1)[](1)[]11n n Ny n ZY z au n au n N aa-++-==------7-24 计算下列序列的傅里叶变换。
（1）2n u [-n ] （3）δ [4-2n ] 解：1(1)()2[]212(2)212j n j nn j nn n j nj j n H eu n eee eeωωωωωω∞--=-∞=-∞∞-==-====--∑∑∑2(3)()[42]j j nj n H en e eωωωδ∞--=-∞=-=∑。