函数的概念与正比例函数
八年级数学学科总计20 课时第课时
课题函数的概念与正比例函数
概念回顾：
1、在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做；保持数值不变的量叫做。
2、函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的。
3、如果变量y是自变量x的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的。
4、解析式形如的函数叫做正比例函数。
5、正比例函数的图像是。
一、求函数定义域应注意的问题
○5若函数中含有0x，则应0
x
例：求下列函数的定义域
练习：（1）4
241
y x x =+-；（2）3
22
x y x --=+；（3）0
3(2)y x =- （4）2439
y x x =---+；（5）24
x y -=
二、()y f x =的相关问题
把语句“y 是x 的函数”用记号()y f x =来表示，这里括号内的字母x 表示自变量，括号外的字母f 表示y 随着x 变化的规律。
练习：已知2(2)32
x y x -=-，把它改写成y=f （x ）的
形式，并求f （3）的值。
三、成正比例的相关问题
例3、已知y+1与2
x 成正比例，且当2,9x y =-=-时。
求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （2，a ）和点B （b,-13）也是函数图像上的点，求a 、b 的值.
练习：y-1与2x+3成正比例，且当1,x =-时3y =。
求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （0，a ）和点B （b ，0）也是函数图像上的点，点O 为坐标原点，求△AOB 的面积。
四、正比例函数(0)y kx k =≠的概念
注：1、系数k 不能为0；2、x 的次数为1 例4、若函数2
2
1
()k
k y k k x --=+⋅是正比例函数，求函数
的解析式。
练习：若函数222
(1)26
k k y k x k --=-+-是正比例函数，求
函数的解析式。
五、已知点的坐标用待定系数法求正比例函数的解析式
例5、已知正比例函数图像经过点（3,5），（a ，-15），求函数的解析式与a 的值。
练习：已知正比例函数经过点(2,0)a -、(1,3)a a -+，求函数的解析式。
六、画正比例函数的图像分三步：列表；描点；连线
例6、在同一坐标系中画出下列函数的图像 （1）2y x = （2）13y x =-
练习：（1）2y x =- （2）1
3
y x =
七、正比例函数的性质：
①当k>0时，正比例函数的图像经过第一、
三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大.即y 随x 的增大而增大。
②当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小.即y 随x 的增大而减小。
例7、已知23
(21)a y a x -=-是正比例函数，且y 随着x
的增大而增大。
（1）求该函数的解析式；
（2）若点A （2，b ）在该函数的图像上，求b 的值；
（3）在（2）的条件下，过点A 作AB x ⊥交x 轴于点B ，求△AOB 的面积。
练习：已知函数
221
1()2
a y a x
-=-+是正比例函数，且函
数经过二、四象限。
（1）求该函数的解析式；
（2）若点A（4，b）和点B都在该函数图像上，求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作AC⊥x交x 轴于点C，点B作BD⊥y轴交y轴于点D，求四边形ACDB的面积。
巩固练习
一、填空题：
16、直线2
(1)y k
x
=+经过第 象限，y 随x
的增大而
17、已知点(,)P m n 在第三象限，直线y mnx =经过第 象限，y 随x 的增大而
18、已知点(,)P m n 在第二象限，直线n
y x m
=经过第 象限，y 随x 的增大而
19、已知2,4，m 是三角形的三边长，直线(6)y m x =-经过第 象限
20、已知3,4，m 是三角形的三边长，直线(1)y m x =-经过第 象限
二、写出下列各函数的定义域： （1
）y=-3x
（2）3
24
y x x =-+-
（3）3
4y x =- （4）
y = （5）
y = （6）
y =
三、求值：
1、当x 为下列各值时，求代数式3
1
x x +-的值。
（1）x=-2 （2）x=3 （3）x=8
2、已知2
()1
x f x x +=+，求(2),(1),()
f f f f a -
3、已知x 、y 有下列关系，把它改写成()y f x =的
形式： （1）2
122x
y x
-= （2）
256120
x y ++=
（3）31
x y =+ （4）2(2)3
x y -=
（5）31
x y =+ （6）3
23
x y =
-
四、在同一坐标平面内画出下列函数的图像： （1）3y x =与3y x =- （2）
14
y x =
与14
y x =-
五、解答题：
1、已知y与x成正比例，且当x=1
2时，3
4
y=，求
y与x的函数关系式。
2、已知y与3x-1成正比例，当x=-3时，y=-1，求当
x=y的值。
3、已知y 是x+3的正比例函数，且当12x =时，1y =-，求y 与x 的函数关系式。
4、如果23
(63)t y t x -=-是正比例函数，求函数的解析式。
5、如果正比例函数图像经过点（2，-4），判定点A （-4,16）是否在这个函数图像上。
能力提高
一、填空题：
1、点（1,5）与（1，-5）关于轴对称；
2、如果函数(3)
y kx k
=+-是正比例函数，则这个正比例函数的解析式是。
3、若1
y 与x成正比例，且当x=2时，1
4
y=，则函
数的解析式为。
4、y-3与x+5成正比例，当x=-3时，y=7，则当y=9时，x= 。
5、如果(2)(3)
y m x n
=++-是正比例函数，且图像经过点（2,6），则m= .
6、已知正比例函数(32)
y a x
=-+，当 a 时，y随x的增大而增大。
7、直线5
y x
=与5
y x
=-关于轴对称；
8、直线y=kx与y=-kx(k ≠0)关于轴对称。
二、解答题：
3.当m为何值时，255
=+是正比例函数，
(1)m m
y m x++
（1）求出函数的解析式；
（2）判定A（2,3）B（-1，3）C11
(,)
-是否在这
62
条直线上。
5、已知正比例函数过点A （2，-4），点P 在此正比例函数图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0,4），且8ABP S
∆=.求点P 的坐标。
6、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P是AB上的一个动点（不与点B重合），PD⊥BC，垂足为D，设PD的长为x,△PBC 的面积为y.
（1）请写出y关于x的函数关
系式；
（2）写出函数的定义域；（3）写出函数的值域。
P
D C B
A
7、已知
12y y y =+，1y 成正比例，2
y 与x 成正比例，且当x=4时，y=0,当x=9时，y=-3,求y 与x 的函数关系式。
8、已知y-1与x+1成正比例关系，比例系数k>0，函数的图像是一条直线，它与坐标轴围成的三角形面积为2个平方单位，求这个函数的关系式。