第十八讲二次函数与平行四边形综合一、教学内容1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质；2.平行四边形的性质和判定；3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；二、例题细看【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y3与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ，x 64H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C.（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 .【考点分析】二次函数综合题yBH1O1 CA xDT【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）；点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）；由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0．【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．A【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ．⑴求 k 的值；⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．yC BDGMFE A OxH【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值．（ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH【跟踪练习】 （ 1）在图 1，2， 3 中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A ，B ，D 的坐标（如图所示），写出图 1， 2， 3 中的顶点 C 的坐标，它们分别是 (5，2) ， ，；yyyyBc(，d)CB (12)，B(c ， d )B (c ， d )CCCD( e ， f )A(a ，b)D( e ， b)xxO( A)D(4，0)O (A)OxD (e ，0)A(a ，b)图 1图 2图 3xA ，B ，DO（ 2）在图 4 中，给出平行四边形 ABCD的顶点 的坐标（如图所示） ，求出顶点 C 图 4的坐标（ C 点坐标用含 a ， b ， c ， d ， e ， f 的代数式表示）；归纳与发现（ 3）通过对图 1， 2， 3， 4 的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A(a ， b)，B(c ， d )， C (m ， n)， D (e ，f ) （如图 4）时，则四个顶点的横坐标 a ， c ， m ， e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b ， d ，n ，f 之间的等量关系为运用与推广（ 4）在同一直角坐标系中有抛物线y x 21 5 1 9(5c 3)x c 和三个点 Gc ， c ， S2c ， c ，222H (2c ，0) （其中 c 0 ）．问当 c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以 G ， S ，H ，P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．【例 3】如图 1，Rt ABC中，A 90，tan B3，点 P 在线段 AB 上运动，点Q、 R 分别在线段BC、4AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP的长为 x ，矩形 APQR 的面积为y，已知y是 x 的函数，其图象是过点12，36的抛物线的一部分（如图 2 所示）．（1）求AB的长；（2）当AP为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图 2 中的抛物线过点12，36 在图 1 中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点 (x, y) 是表示图 1 中AP的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么 12，36表示当 AP 12 时， AP 的长与矩形APQR面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36 是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题.【考点点评】本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键yC(12,36)QRA BO xP【 PEC分析】（ 1 ）由于 y 是 x 的函数且过（ 12 ， 36 ）点，即AP=12时，矩形的面积为36 ，可求出 PQ 的长，进而在直角三角形BPQ 中得出 BP 的值，根据AB=AP+BP即可求出AB 的长．（ 2 ）与（ 1 ）类似，可先用AP 表示出 BP 的长，然后在直角三角形BPQ 中，表示出PQ 的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y， x 的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x 的值．【跟踪练习】如图，已知与 x 轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C (3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为 C ．（1）求抛物线l2的函数关系式；（2）已知原点 O ，定点D (0，4)，l2上的点 P 与l1上的点 P 始终关于 x 轴对称，则当点 P 运动到何处时，以点 D， O，P，P 为顶点的四边形是平行四边形？（3）在l2上是否存在点 M ，使△ ABM 是以 AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．yl25E4321A B1 1Ox1 2345234C5l1【例 4】如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，0)、 C (0，2) ，D为OA的中点．设点P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（ 1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD相等；（ 2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式；（ 3）设点E是（ 2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和PDE 的周长；P°4OABC的对称中心，是否存在点，使 CPN90 ？若存在，请直接写出（）设点 N 是矩形点 P 的坐标．yC(0,2)BPO D A(4,0)x【PEC分析】本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题．（1 ）通过△POC ≌△POD 而证得 PC=PD ．（2）首先要确定 P 点的位置，再求出 P、F 两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；（3）此问首先利用对称性确定出 P 点位置是 EC 与∠AOC 的平分线的交点，再利用抛物线与直线 CE 的解析式求出交点 P 的坐标．进而求的△PED 的周长；（4）要使∠CPN=90 °，则 P 点是以 CN 的中点为圆心以 CN 为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出 P 点的坐标．【例 5】如图，已知抛物线 l1：y x24的图象与 x 轴相交于 A、 C 两点，B是抛物线 l1上的动点 ( B不与A、 C 重合 )，抛物线 l 2与 l1关于x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D．（1）求 l2的解析式；（2）求证：点D一定在l2上；（3）平行四边形 ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）yl1： y=x 2-4A CO xl2【 PEC分析】（ 1 ）根据 l1 的解析式可求l1 与 x 轴的交点为 A （ -2 ，0 ）， C（ 2， 0 ），顶点坐标是（ 0 ，-4 ）， l2 与 l1关于 x 轴对称，实际上是l2 与 l1的顶点关于 x 轴对称，即l2 的顶点为（0， 4 ），设顶点式，可求抛物线l2 的解析式；（ 2 ）平行四边形是中心对称图形， A 、C 关于原点对称，则 B、 D 也关于原点对称，设点B（ m ， n ），则点 D（ -m ，-n ），由于 B（ m ，n）点是 y=x2-4上任意一点，则 n=m2-4，∴-n=- （ m2-4 ）=-m2+4=-（ -m ） 2+4 ，可知点 D （ -m ， -n ）在 l2y=-x2+4的图象上；6【跟踪练习】 如图，已知抛物线 C 1 与坐标轴的交点依次是 A4 ，0 ， B 2 ，0 ，E 0，8 ．（ 1）求抛物线 C 1 关于原点对称的抛物线 C 2 的解析式；（ 2）设抛物线 C 1 的顶点为 M ，抛物线 C 2 与 x 轴分别交于 C ， D 两点 (点 C 在点 D 的左侧 )，顶点为 N ，四边形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别 向右、向左运动；与此同时，点 M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动， 直到点 A 与点 D 重合为止． 求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（ 3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，并求出此最大值；（ 4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，说明理由．y 8 E 7 6 5 4 32 NAB1C H D-6 -5 -4 -3 -2 -1O1 2 3 4 5 xM-1 -2三、课堂一试1.如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 为函数 y1 x2 在第一象限内的图象上的任一点， 点 A 的坐标为 0，1 ， 4直线 l 过 B 0 ， 1 且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴、直线 l 于 C 、Q ，连结 AQ 交 x 轴于 H ， 直线 PH 交 y 轴于 R ．⑴ 求证： H 点为线段 AQ 的中点；⑵ 求证：四边形 APQR 为菱形；⑶ 除 P 点外，直线 PH 与抛物线 y1 x2 有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没4有，请说明理由．yPA CxOHlB QR2.如图，在平面直角坐标系内，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线y3 x 2 与y轴的交点A和点3M 3，0 ．2（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（ 2）将（ 1）中所求抛物线沿 x 轴平移．①在题目所给的图中画出沿 x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿 x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB 相交于 C 点．判断以 O 为圆心， OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；（ 3）P点是沿 x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。