二次函数与四边形综合专题二次函数与四边形的形状例1.如图，抛物线y _2x-3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线I 与抛物线交于 A C 两 点，其中C 点的横坐标为2.(1) 求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；(2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值； (3)点G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ,使A 、C F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由.得y=-3 ,• C (2, -3 )•••直线AC 的函数解析式是y=-x-1(2) 设P 点的横坐标为x (-1 < x w 2)贝U P 、E 的坐标分别为：P (x , -x-1 ) , E ( (x,x 2 -2x -3)••• P 点在 E 点的上方， PE^^x_1)_(x 2 _2x_3) - _x 2 x 219 •••当x 时，PE 的最大值=—24(3) 存在 4 个这样的点 F ,分别是日(1,0),冃(—3,0),F 3(4+J7,0),F 4(4—J7,0)练习1.如图，对称轴为直线 x = 7的抛物线经过点A ( 6, 0)和B (0, 4).(1) 求抛物线解析式及顶点坐标； (2)设点E( x , y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形. 求 平行四边形 OEAF 勺面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；① 当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？解: (1)令 y=0,解得 X i - -1 或 X 2 =3 ••• A(-1 , 0) B( 3, 0);将 C 点的横坐标2x=2 代入y = x - 2x -3②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.练习1. 解:( “由抛物线的对称轴是x=2，可设解析式为y -(-7)2 k •把AB 两点坐标代入上因为抛物线与X 轴的两个交点是(1, 0)的(6, 0)，所以，自变量 X 的取值范围是1 v X v 6. ① 根据题意，当S = 24时，即/(x 一7)2 +25 =24 •化简，得(^ _Z )^2 解之，得X t=3,X 2=4.故所224'求的点E 有两个，分别为 E 1 ( 3,— 4),巳(4, — 4). 点E 1 (3, — 4)满足OE = AE ,所以L OEAF 是菱形； 点E 2 (4, — 4)不满足OE = AE ，所以L OEAF 不是菱形.② 当OAL EF,且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为 (3,— 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ,使L OEAF 为正方形.练习2.如图，已知与x 轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线h 的顶点为C(3,4)，抛物线*与h 关于x 轴对 称，顶点为C .(1) 求抛物线*的函数关系式；(2) 已知原点O ,定点D(0,4) , J 上的点P 与h 上的点P •始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时， 以点D ,O , P , P ■为顶点的四边形是平行四边形？a(6 _7)2 - k =0,[72a(0电)+k =4.解之，得一_25故抛物线解析式为y =2 & _!)2 _竺，顶点为(7 _25)3262'6(2)v 点E(x, y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y =2(x 一7)2 3 2—y>0, — y 表示点E 到OA 的距离.•••OA 是L OEAF 的对角线，17二 s =2S °AE =2、> OA y - (y - -4()2 25 .精品文档(3)在J上是否存在点M，使△ ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 练习3.如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A(~4,0) , B(-2,0) , E(0,8).(1)求抛物线C i关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线C i的顶点为M ,抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N , 四边形MDNA的面积为S.若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止•求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.精品文档二•二次函数与四边形的面积2例1.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c(a丰0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y 52-4520(1)求A、B、C三点的坐标；⑵若点D的坐标为(m, 0)，矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；⑶当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=k・DF, 若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.图10精品文档练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为(一8, 0),点N的坐标为(一6,—4).(1)画出直角梯形OMN H点O旋转180°的图形OABC并写出顶点A, B, C的坐标(点M的对应点为A, 点N 的对应点为B,点H的对应点为C);(2)求出过A, B, C三点的抛物线的表达式；(3)截取CE=OF=AGm 且E, F, G分别在线段CQ OA AB上，求四边形BEFG 的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；练习2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子•动点P , Q同时从点A出发,点P沿A > B > C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A > D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止.P , Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2.(1)当0 < x < 1时，求y与x之间的函数关系式；(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；(3)当K x < 2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时Z POQ的变化范围；(4)当0 < x < 2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.练习3.如图，已知抛物线l i ： y =x 2-4的图象与x 轴相交于 A C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A C 重合)，抛物线l 2与l i 关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形 ABC 啲第四个顶点为 D. (1)⑵ ⑶6BCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 )；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值三•二次函数与四边形的动态探究例1.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC 已知0(0 , 0), A (4 , 0) , C (0 , 3)，点P 是OA 边上的动点(与点0 A 不重合).现将△ PAB 沿PB 翻折，得到△ PDB 再在0C 边上选取适当的点 E,将厶P0E 沿PE 翻折，得到△ PFE 并使直线PD PF 重合.(1) 设Rx , 0) , E (0 , y )，求y 关于x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2) 如图2,若翻折后点 D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；⑶在⑵的情况下，在该抛物线上是否存在点Q 使厶PEC 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标.求l 2的解析式；求证：点D 一定在l 2上;图1图2例2.已知抛物线y= ax2+ bx + c与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB 0C的长(020C是方程x2- 10x+ 16= 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=- 2.(1)求A B C三点的坐标；(2)求此抛物线的表达式；(3)连接AC BC若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF// AC交BC于点F,连接CE设AE的长为m △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时厶BCE的形状；若不存在，请说明理由.-4例3.如图，矩形ABCDK AB= 3, BC= 4，将矩形ABC［沿对角线A平移，平移后的矩形为EFG(A、E、 C G始终在同一条直线上)，当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N, GH与BC的延长线交于点M EH与DC交于点P, FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCM的面积，S表示矩形NFQ啲面积.(1)S与S•相等吗？请说明理由.(2)设AE= x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x 取何值时S有最大值，最大值是多少？(3)如图11,连结BE,当AE为何值时，- ABE是等腰三角形.HMG练习1.如图12,四边形OABC 为直角梯形，A (4, 0), B( 3, 4), C (0, 4).点M 从0出发以每秒2个单位长度的速度向 A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒 1个单位长度的速度向 C 运动•其中一个动 点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于 Q 连结MQ(1) 点 ______ (填M 或N)能到达终点；(2) 求厶AQM 勺面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值 最大； (3)是否存在点 M 使得△ AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.3, 4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 A BCD 处于直角1, 2, 中哪个位置，当其顶点坐标为A(a, b), B(c , d), C(m, n), D(e, f)(如图4)时，则四个顶坐标系练习2.实验与探究(1) 在图1, 2, 3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A, B,D 的坐标(如图所示)，写出图中的顶点C 的坐标，它们分别是(5,2) , _________y*(2)在图4中, 给出平行四边形ABCD 的顶点A, B , D 的坐标 (如图所示)，求出顶点C 的坐标(C 点坐标用含a , b ,c ,d , e, f 的代数式表示)；归纳与发现 (3)通过对图B(c^精品文档点的横坐标a, c, m, e之间的等量关系为_____________________ ；纵坐标b, d, n, f之间的等量关系为(不必证明)；运用与推广(4)在同一直角坐标系中有抛物线y =x? _(5c_3)x _c和三个点G -- C,5C , S '1C,9C l'，H(2c,0)(其(2 2丿(2 2丿中c 0) •问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G, S, H , P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.参考答案：一. 二次函数与四边形的形状例 1.解：(1)令y=0，解得x i - -1 或X2 =3 ••• A (-1 , 0) B (3, 0);将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3 , • C (2, -3 )•••直线AC的函数解析式是y=-x-1(2)设P点的横坐标为x (-1 < x w 2)贝U P、E的坐标分别为：P (x, -x-1 ),E ((x,x2 -2x -3) T P 点在E 点的上方，PE=( -x -1) -(x2-2x -3) = -x2x 21 9•••当x 时，PE的最大值=-2 4(3)存在4 个这样的点F,分别是戸(1,0), F2(—3,0), F3(4 .7,0),F4(4—、,7,0)精品文档练习1.解: (1)7 7 2由抛物线的对称轴是x ，可设解析式为y=a(x ) k .把A B两点坐标代入上2 27、2式，得7 2a(6 -7) k7 2a(0 ——)2+k • 2 -0, =4.故抛物线解析式为解之，得a誇,k」25W号，顶点为6斗).(2)T点E(x, y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合2.7、2 25y (x )3 2 6• y<0 ,即一y>0, —y表示点E到OA的距离OA是L OEAF的对角线,精品文档1= 2x^xOA |y = —6y = /(—7)2+25.2 2因为抛物线与x轴的两个交点是(1, 0)的(6, 0)，所以，自变量x的取值范围是1 v x V 6.S = 24 时，即/(x _7)2• 25 =24 •化简，得(x_<)2=丄.①根据题意，当解之，得X t = 3, x2= 4.2 24故所求的点E有两个，分别为E ( 3,—4),已(4,—4)• 点E i (3, —4)满足OE = AE ,所以L OEAF是菱形；点E2 (4, —4)不满足OE = AE，所以L OEAF不是菱形.②当OAL EF,且OA = EF时，L OEAF是正方形，此时点E的③坐标只能是(3, —3).而坐标为(3, —3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E,使L OEAF为正方形.练习2.解：(1)由题意知点C的坐标为(3, - 4).设12的函数关系式为y=a(x-3)2-4 .2 2又T点A(1,0)在抛物线y=a(x-3) -4上，(1-3)a-4=0，解得a =1 .2 2-抛物线12的函数关系式为y =(x-3)-4 (或y = x-6x • 5 ).(2) 与P始终关于x轴对称，.PP ■与y轴平行.设点P的横坐标为m ,则其纵坐标为m2 -6m +5，，：0D = 4，”•” 2 m2_6m +5 =4 ,即m2-6m+5 =2 .当m^6m 5 2时，解得m=3_、.6 .当m2-6m 5 =2 时，解得m = 3 _三.■当点P运动到(3-「6,2)或(3 .6,2)或(3-「2, - 2)或(3 • ..2, _2)时,P PXOD，以点D, O, P, P •为顶点的四边形是平行四边形.(3)满足条件的点M不存在.理由如下：若存在满足条件的点则ZAMB =90：', 7- BAM =30：'(或• ABM =30：；),1 1■ BM AB 4 =2.2 2过点M作ME _ AB于点E，可得• BME =. BAM =30 ..EB」BM =丄2=1, EM = . 3 , OE =4 .2 2•点M的坐标为(4，-'-3).精品文档1但是，当X = 4 时，y =42-6 4 5 =16 -24 5 =-3 一.-不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形.练习3.解(1 )点A(—4,0)，点B(—2 0)，点E(0,8)关于原点的对称点分别为 D(4,0) , C(2,0),据题意可知0 < t :: 4 •所以，所求关系式是 S = -4t 2 14t 8 , t 的取值范围是0 w t :: 4.『 7、81781 (3)S=V t —— + — ,(0 w tv4) •所以 t =—时，S 有最大值—•I 4丿 444提示：也可用顶点坐标公式来求. (4) 在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形. 由(2)知四边形 MDNA 是平行四边形，对角线是AD , MN ,所以当 AD =MN 时四边形 MDNA 是矩形.所以 OD =ON .所以OD 2 =ON 2 =OH 2 NH 2. 所以 t 2 42_2=0 .解之得 1 —、6-2, t ? =7；6-2 (舍).所以在运动过程中四边形 MDNA 可以形成矩形，此时t =痔6 -2 .［点评］本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较二. 二次函数与四边形的面积例1.解：(1)解法一：设y = ax 2 bx ■ c(a 厂0),任取x,y 的三组值代入，求出解析式y =丄x 2 + x- 4 , 2令 y=0，求出为=-4,X 2= 2 ；令 x=0，得 y=-4 , A A 、B C 三点的坐标分别是 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , C(0, -4)解法二：由抛物线 P 过点(1 , - 5) , (-3 ,--)可知，2 2抛物线P 的对称轴方程为x=-1 ,又•••抛物线P 过(2 , 0)、(-2 , -4),则由抛物线的对称性可知, 点 A 、B C 的坐标分别为 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , C(0 , -4).F (0, 8).设抛物线C 2的解析式是y =ax 2 bx c(a *0)，贝U16a 4b c =0, 4a2b c =0, c - -8. ! a - —1, 解得b =6,c - _8・所以所求抛物线的解析式是 (2)由(1) 可计算得点M(-3, -1), N(3,.过点N 作NH _ AD ，垂足为H .当运动到时刻 t 时，AD =2OD =8 _2t , NH ^1 2t .根据中心对称的性质 OA = OD, OM =ON ，所以四边形 MDNA 是平行 四边形.所以S =2S A ADN所以，四边形MDNA 的面积2 __S=(8-2t)(1，2t)=-4t14t 8 .因为运动至点 A 与点D 重合为止,S DEFG =DG" FG=6.(2)由题意， AD= D G ，而 AO=2 0C=4 AD=2-m 故 DG=4-2m .................AO OC p BE EF ZR又 = ,EF=DG 得 BE=4-2m /• DE=3m BO OC S DEFG =DG* DE=(4-2m) 3m=12m-6m (0 v ITK 2). 注：也可通过解 Rt △ BOC 及 Rt △ AOC 或依据△ BOC 是等腰直角三角形建立关系求解 ⑶•/ SDEFG=12m-6n(0 < m v 2), A m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 . 当矩形面积最大时，其顶点为 D(1 , 0) , G(1 , -2) , F(-2 , -2) , E(-2 , 0), 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k= - , b=--, 3 32y = x- 3又可求得抛物线 P 的解析式为：y = 1 x 2 + X- 4 , 2 2 2 1 2 ■ 1 - - 61 令—x- - = -x + x- 4，可求出X .设射线DF 与抛物线P 相交于点N,3 3 2 3 则N 的横坐标为」 61，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H,有 3FN = DF2 -1-76- HE - 2-3 - 5+ 61 DE 点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时 ,-5+ 6- 口，门 k z 且 k > 0. 9k 的取值范围是 说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分 若选择另一问题: AD DG AO = OC 而 AD=1, AO=2 OC=4 贝U DG=2 又 TFGAB CP OC而 AB=6, CP=2 OC=4 贝UFG=3练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形 ••• A, B, C 三点与M • A ( 0, 4), B (6, (写错一个点的坐标扣N, 4) 1 H 分别关于点 ,C (8, 0) 分)OABC O 中心对称,(2)设过 A , B,4),A (0 , ••• 一 'I .则抛物线关系式为将B (6, 4), C (8, 0)两点坐标代入关系式，得3(3) ： OA=4 OC=8 二 AF=4- m OE=8- m................................. 8 分•••勺二：口;、 七皿厂小川口 一宀」—_ 1 _] _] _22OA( AB+OC 2 AF • AG 2 OE ・ OF 2 CE- OA-ix4x(6 + 3) -2 2 2 2(0 v 匸 v 4) .........................................•••当时，S 的取最小值.又••• 0 v m v 4，•不存在 m 值，使S 的取得最小值. ••(4)当 讣二-Uh 时，GB=GF 当时，BE=BG当 0 < x < 1 时，AP=2x , AQ=x即 y =3x -2.练习3.解](1)设12的解析式为y =ax 2+bx +c (0),•/ 11与x 轴的交点为 A (-2 , 0) , C (2 , 0)，顶点坐标是(0 , - 4),丨2与l 1关于x 轴对称, •••丨2过 A (-2,0),C (2,0)，顶点坐标是(0 , 4),作0E 丄AB , E 为垂足. 4 当一w x < 2 时，BP=2x —2 , AQ 3 OE -1, 1 +2x —2 1y = S 梯形 BEOP S梯形 OEAQ 1 ■- 2 2(4)3x . 90 w/ POQ w 180或 180’ <Z POQ w 270 2 如图所示：36a+6b +4 = 4j+搜E + 4 二0*解得所求抛物线关系式为:45AB ,垂足为 G 贝U sin / FEG= sin / CAB=「分• • 6分.............. 7分10分12分14分练习2.［解］(1) (2)当S 四边形ABPQ1=寸S 正方形AD 时，橡皮筋刚好触及钉子,BP = 2x - 2 , AQ = x ，£ 2x —2 x 2=* 22，(3)当 1 <4时，AB =2 , PB 3=2x -2 , AQ 二 x , AQ + BP| y =-^ x 2x -22 =3x —2，2324a -2b c = 0 ,•- 4a 2b c =0,c 4.3••• a=-1, b =0, c =4,即 12 的解析式为 y = - x 2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)2 2⑵ 设点B ( m n )为1 1： y =x -4上任意一点，贝U n = m -4 (*).•••四边形ABC ［是平行四边形，点 A C 关于原点0对称, •••点D 的坐标为D (- m - n ).222由(*)式可知，-n =-( m-4)= -(- m +4,即点D 的坐标满足y = - x +4, •••点D 在12上.⑶口 ABC ［能为矩形.过点B 作BH L x 轴于H,由点B 在1i ： y =x 2-4 上,可设点B 的坐标为(X o , X o 2-4),则0H = X o | , BH =| x o 2-4|三. 二次函数与四边形的动态探究 例1.解：(1)由已知 PB 平分/APD PE 平分/GPF 且 PD PF 重合，则 / BPE=9o °GPEF Z APB=9o°.又/ APBF Z ABP 9o °GPE Z PBA PG BAx 31 1 4•- Rt △ PGE° Rt △ BPA • -- = ---- .即一= -------- .•- y =_x(4-x) = — x 2+-x (o v x v 4).GE AP y4-x 3 3 3 且当x =2时，y 有最大值-.3⑵ 由已知，△ PAB △ PGE 均为等腰三角形，可得 R1 , o),E (o , 1), B (4 , 3).-f c ~1,设过此三点的抛物线为 y =ax 2+ bx + c ,贝U q a +b+c=o ,•16a 亠4b 亠c =3.1 2 3 彳 y = x x 1 . 2 2⑶由⑵知Z EP 咅9。