海淀区九年级第二学期期末练习数 学参考答案及评分标准 2011.6说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式3=--1 …….……………………..4分 2=-.…….……………………..5分14.解：方程两边同时乘以(2)(2)x x +-方程可化为： 3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x -++=+-，…….……………………..2分即 223624312x x x x -++=-. ∴ 4x =.…….……………………..4分经检验：4x =是原方程的解. ∴原方程的解是4x =.…….……………………..5分15. 证明：∵AE ⊥BC 于E ， AF ⊥CD 于F ，∴90AEB AFD ∠=∠=︒, …….……………………..1分 ∵菱形ABCD ,∴AB =AD , B D ∠=∠.…….……………………..3分在Rt △EBA 和Rt △FDA 中, ,,.AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBA ≌△FDA . …….……………………..4分 ∴AE =AF .…….……………………..5分16.解：∵2()(2)(2)x y x y y x ----=(2)(2)x y x y x y ---+ …….……………………..1分 (2)y x y =-,…….……………………..2分又∵32y x y+=, ∴32x y y-=. …….……………………..3分将32x y y-=代入上式，得(2) 3.y x y -= ∴当32y x y+=时，代数式2()(2)(2)x y x y y x ----的值为3. …….……………………..5分17．解：（1）∵ 直线y x b =-+经过点(2,1)A ，∴ 12b =-+.…….……………………..1分 ∴ 3b =.…….……………………..2分（2）∵ M 是直线3y x =-+上异于A 的动点，且在第一象限内．∴ 设M （a ，3a -+），且03a <<. 由MN ⊥x 轴，AB x ⊥轴得,MN=3a -+，ON=a ，AB =1，2OB =. ∵ MON △的面积和AOB △的面积相等，∴()1132122a a -+=⨯⨯. 3分解得：11a =，22a =（不合题意，舍）. 4分∴ M （1，2）.5分18．解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8x -)辆. …….……………………..1分由题意得：290,100.4030(8)1020(8)x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥ …….……………………..3分 解得：56x ≤≤.…….……………………..4分即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． …….……………………..5分 19．解：作DE //AC ,交BC 的延长线于点E ,作DF ⊥BE,垂足为F.…….……………………..1分∵AD //BC ,∴四边形ACED 为平行四边形.∴AD=CE=3，BE=BC+CE=8.…….……………………..2分∵AC ⊥BD ， ∴DE ⊥BD.∴△BDE 为直角三角形 ，90.BDE ∠=︒ ∵∠DBC =30°，BE =8,∴4,DE BD == …….……………………..4分在直角三角形BDF 中∠DBC =30°,BADCEF∴DF=. …….……………………..5分20．（1）证明：连结OC.∵CD是O⊙的切线，∴OC⊥CD.∴90OCM∠=︒.…….……………………..1分∵//CD AB,∴180OCM COA∠+∠=︒.∵AM⊥CD,∴90AMC∠=︒.∴在四边形OAMC中90OAM∠=︒ .∵OA为O⊙的半径,∴AM是O⊙的切线. …….……………………..2分（2）连结OC,BC.∵CD是O⊙的切线，∴OC⊥CD.∴90OCM∠=︒.∵AM⊥CD,∴90AMC∠=︒.∴//OC AM.∴12∠=∠.∵OA= OC,∴32∠=∠. 即BAC CAM∠=∠. …….……………………..3分易知90ACB∠=︒，∴BAC CAM△∽△. …….……………………..4分∴AB ACAC AM=.即224AC AB AM=⋅=.∴AC=. …….……………………..5分21．解：（1）800，400，40；…….……………………..3分（2）2010，2100. …….……………………..5分注：本题一空一分22．解：（1）如图，当C、D是边AO,OB的中点时，点E、F都在边AB上，且CF AB⊥.∵OA=OB=8，∴OC=AC=OD=4.∵90AOB∠=︒,∴CD=. …….……………………..1分CD1图2图在Rt ACF △中， ∵45A ∠=︒,∴CF =∴16CDEF S ==矩形.…….……………………..2分（2）设,CD x CF y ==.过F 作FH AO ⊥于H . 在Rt COD △中，∵4tan 3CDO ∠=, ∴43sin ,cos 55CDO CDO ∠=∠=.∴45CO x =.…….……………………..3分∵90FCH OCD ∠+∠=︒, ∴FCH CDO ∠=∠. ∴3cos .5HC y FCH y =⋅∠=∴45FH y . ∵AHF △是等腰直角三角形, ∴45AH FH y ==. ∴AO AH HC CO =++. ∴74855y x +=. ∴1(404)7y x =-.…….……………………..4分易知2214(404)[(5)25]77CDEF S xy x x x ==-=---矩形,∴当5x =时，矩形CDEF 面积的最大值为1007. …….……………………..5分 23．解：（1）由题意可知,∵(32)4(3)90m m m ∆=---=>，…….……………………..1分即0.∆>∴方程总有两个不相等的实数根.…….……………………..2分（2）由求根公式，得(32)32m x m --±=．∴ 31x m =-或1x =．…….……………………..3分∵ m ＞0， ∴ 311m>-． ∵ 12x x >，CB∴ 12311x x m==-，． …….……………………..4分∴ 2111.3x y x m -==- 即1(0)y m m=->为所求．…….……………………..5分（3）在同一平面直角坐标系中分别画出1(0)y m m=->与(0)y m m =->的图象. …….……………………..6分 由图象可得，由图象可得 当01m <≤时，y m -≤．…….……………………..7分24．解：过B 作BC ⊥x 轴于C .∵ 等边三角形OAB 的一个顶点为A ∴ OB =OA =2，AC =OC =1，∠BOC ∴ BC =tan 60OC ︒=∴ B (1.分设经过O 、A 、B 三点的抛物线的 解析式为：2(1)y a x =-将A （2，0）代入得：2(21)a -解得a =.∴经过O 、A 、B 21)y x =-即2y =+.分（2）依题意分为三种情况： （ⅰ） 当以OA 、OB 为边时， ∵ OA=OB ，∴ 过O 作OQ ⊥AB 交抛物线于Q . 则四边形OAQB 是筝形，且∠QOA= 作QD ⊥x 轴于D ，QD=OD tan QOD ∠,设Q ()2,x +，则2tan30x +=︒.解得：53x =.∴Q 53⎛ ⎝⎭.…….……………………..3分（ⅱ） 当以OA 、AB 为边时，由对称性可知Q13⎛ ⎝⎭.…….……………………..4分（ⅲ） 当以OB 、AB 为边时，抛物线上不存在这样的点Q 使BOQA 为筝形.…….…………..5分∴Q 53⎛ ⎝⎭或13⎛ ⎝⎭.（3）点Q 在M 内.由等边三角形性质可知OAB △的外接圆圆心M 是（2）中BC 与OQ 的交点， 当Q 53⎛ ⎝⎭时，∵MC ∥QD , ∴△OMC ∽△OQD . ∴MC OC QD OD=.∴OC QD MC OD ⋅==∴M ⎛ ⎝⎭.∴ MQ=.又BM =, ∴Q 53⎛ ⎝⎭在M 内. …….……………………..6分当Q 53⎛ ⎝⎭时，由对称性可知点Q 在M 内. 综述，点Q 在M 内. …….……………………..7分25．解：（1）45；…….……………………..2分（2）如图2，以A 为顶点AB 为边在ABC △外作BAE ∠=60°，并在AE 上取AE =AB ，连结BE 和CE .∵ACD △是等边三角形, ∴AD =AC ，DAC ∠=60°. ∵BAE ∠=60°,∴DAC ∠+BAC ∠=BAE ∠+BAC ∠. 即EAC ∠=BAD ∠.∴EAC △≌BAD △.…….……………………..3分∴EC =BD.∵BAE ∠=60°，AE =AB=3,AEBCD2图∴AEB △是等边三角形，∴EBA ∠=60°, EB = 3，…….……………………..4分∵30ABC ∠=︒, ∴90EBC ∠=︒.∵90EBC ∠=︒，EB =3，BC =4, ∴EC =5.∴BD =5. …….……………………..5分 （3）DAC ∠=2ABC ∠成立.…….……………………..6分以下证明：如图３，过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE =2AH ，连结EA ，EC . 并取BE 的中点K ，连结AK . ∵AH BC ⊥于H ， ∴90AHC ∠=︒. ∵BE ∥AH , ∴90EBC ∠=︒.∵90EBC ∠=︒，BE =2AH , ∴222224EC EB BC AH BC =+=+. ∵2224BD AH BC =+, ∴EC =BD.∵K 为BE 的中点，BE =2AH , ∴BK =AH. ∵BK ∥AH ，∴四边形AKBH 为平行四边形. 又∵90EBC ∠=︒, ∴四边形AKBH 为矩形. ∴90AKB ∠=︒.∴AK 是BE 的垂直平分线. ∴AB =AE.∵AB =AE ，EC =BD ，AC =AD, ∴EAC △≌BAD △.…….……………………..7分∴EAC BAD ∠=∠.∴EAC EAD BAD EAD ∠-∠=∠-∠. 即EAB DAC ∠=∠.∵90EBC ∠=︒，ABC ∠为锐角, ∴90ABC EBA ∠=︒-∠. ∵AB =AE, ∴EBA BEA ∠=∠. ∴1802EAB EBA ∠=︒-∠. ∴EAB ∠=2ABC ∠.∴DAC ∠=2ABC ∠.…….……………………..8分3图AB CDEK。