第01讲认识三角形考点·方法·破译1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线),会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2.知道三角形两边的和大于第三边,两边之差小于第三边.3.了解与三角形有关的角(内角、外角) .4.掌握三角形三内角和等于180°,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6.会从复杂的图形中找到基本图形,从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例1】若的三边分别为4,x,9,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________;当周长为奇数时,x=______________.【解法指导】运用三角形三边关系,即第三边小于两边之和而大于两边之差故5<x<13,18<l<26;周长为19时,x=6,周长为21时,x =8,周长为23时,x=10,周长为25时,x=12,【变式题组】01.若△ABC的三边分别为4,x,9,且9为最长边,则x的取值范围是______________,周长l的取值范围是______________.02.设△ABC三边为a,b,c的长度均为正整数,且a<b<c,a+b+c=13,则以a,b,c为边的三角形,共有______________个.03.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完,能摆出不同形状的三角形个数是().A.1B.2C.3D.4【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形,题目没有交代底边和腰,要给予讨论.当18cm为腰时,底边为58-18×2=22,则三边为18,18,22. 当18cm为底边时,腰为58182=20,则三边为20,20,18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解:18cm,18cm,22cm或18cm,20,20cm.【变式题组】01.已知等腰三角形两边长分别为6cm,12cm,则这个三角形的周长是()A.24cm B.30cm C.24cm或30cm D.18cm02.已知三角形的两边长分别是4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm03.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分,则此等腰三角形的腰长为______________.【例3】如图AD是△ABC的中线,DE是△ADC的中线,EF是△DEC的中线,FG是△EFC的中线,若S△GFC=1cm2,则S△ABC=______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二,由FG为△EFC的中线,知S△EFC=2S△GFC=2.又由EF为△DEC中线,S△DEC=2S△EFC=4.同理S△ADC=8,S△ABC=16.【变式题组】01.如图,已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点,S△ABC=4,则S△EFC=______________.02.如图,点D是等腰△ABC底边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若一腰上的高为4cm,则DE+DF=______________.03.如图,已知四边形ABCD是矩形(AD>AB) ,点E在BC上,且AE=AD,DF⊥AE于F,则DF与AB的数量关系是______________.【例4】已知,如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______________.【解法指导】这是本章的一个基本图形,其基本方法为构造三角形或四边形内角和,结合八字形角的关系即,∠A+∠B=∠C+∠D.故连结BC有∠A+∠D=∠DBC+∠ACB,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°【变式题组】01.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______________.02.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=______________.03.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=______________.【例5】如图,已知∠A=70°,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.则∠BOC =______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形,其结论为∠BOC=12∠A+90°.证法如下: ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCBC D (第2题图)C=180°-12∠ABC -12∠ACB =180°-12(180°-∠A )= 90°+12∠A .所以∠BOC =125°. 【变式题组】01.如图,∠A =70°,∠B =40°,∠C =20°,则∠BOC =______________. °,点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点,则∠OPC =______________.03.如图,∠O =140°,∠P =100°,BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ,则∠A =______________.【例6】如图,已知∠B =35°,∠C =47°,AD ⊥BC ,AE 平分∠BAC ,则∠EAD =______________.【解法指导】∵∠EAD =90°-∠AED =90°-(∠B +∠BAE )= 90°-∠B -12(180°-∠B -∠C )= 90°-∠B -90°+12∠B + 12∠C =12(∠C -∠B ) ,故∠EAD =6°.【变式题组】01.如图,已知∠B =39°,∠C =61°,BD ⊥AC ,AE 平分∠BAC ,则∠BFE =__________.02.如图,在△ABC 中,∠ACB =40°,AD 平分∠BAC ,∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ,点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ,过点F 作EF ⊥BC 交于点E ,下列结论:①∠P +∠DEF 为定值,②∠P -∠DEF 为定值中,有且只有一个答案正确,请你作出判断,并说明理由.【例7】如图,在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′,使CC ′∥AB ,若∠BAC =70°,则旋转角α=______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ,∴∠C ′CA =∠CAB =70°,又AC =AC ′,∴∠C ′AC =180°-2×70°=40°【变式题组】01如图,用等腰直角三角形板画∠AOB =45°,并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA 的直角α=______________.02.如图,在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′,若点A ′在AB 上时,则旋转角α=______________.(∠AOB =90°,∠B =30°)3.如图,△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边,AC 边翻折180°形成的,若∠BAC =130°,则∠α=______________.演练巩固·反馈提高01.如图,图中三角形的个数为( )A .5个B .6个C .7个D .8个(例6题图)E D02.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定03.有4条线段,长度分别是4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形,可以组成三角形的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个04.下列语句中,正确的是()A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C.三角形的外角中,至少有两个钝角D.三角形的外角中,至少有一个钝角05.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定06.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定07.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是9cm,则这个三角形的周长是______________.08.三角形三条边长是三个连续的自然数,且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分别是______________.09.如图,在△ABC中,△A=42°,△B与△C的三等分线,分别交于点D、E,则△BDC的度数是______________.10.如图,光线l照射到平面镜上,然后在平面镜△、△之间来回反射,已知△α=55,△γ=75°,△β=______________.11.如图,点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点,且S△EFC=1,则S△ABC=______________.12.如图,已知: △1=△2,△3=△4,△BAC=63°,则△DAC=______________.13.如图,已知点D、E是BC上的点,且BE=AB,CD=CA,△DAE=13△BAC,求△BAC的度数培优升级·奥赛检测01.在△ABC中,2△A=3△B,且△C-30°=△A+△B,则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形(第13题图)D ECC.有一个角是30°的直角三角形D.等腰直角三角形B.C.02.已知三角形的三边a、b、c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=7,则这样的三角形共有() A.21个B.28个C.49个D.54个03.在△ABC中,△A=50°,高BE、CF交于O点,则△BOC=______________.04.在等腰△ABC中,一腰上的高与另一腰的夹角为26°,则底角的度数为______________.=______________.06.周长为30,且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07.设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数,且周长不大于30,并满足(a-b) 2+(a-c) 2+(b-c) 2=26,问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08.在一次数学小组活动后,小明清理课桌上的三角形模型,经清点,共有11个钝角,15个直角,100个锐角,于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09.现有长为150cm的铁丝,要截成n(n>2)小段,每段的长为不小于1cm的整数,如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10.如图,在△BCD中,BE平分△DBC交CD于F,延长BC至G,CE平分△DCG,且EC、DB的延长线交于A点,若△A=30°,△DFE=75°.(1)求证: △DFE=△A+△D+△E;(2)求△E的度数;。