平面向量与圆锥曲线的综合问题例１ 已知F １、F ２分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，1254PF PF •=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，２）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k+=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．１又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．２ 综１２可知2344k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22-- 例２ 已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心）（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF •的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分１４分．（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知 222222222211122212()2222y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得221212y y ==，所以(63)A ，，(623)B -，或(63)A -，，(63)B ，． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+= 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为332r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是有23322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． （II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF --≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．例３ 已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ •=•．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（１）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（２）求MA MB 的最小值．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（１）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由，1MA AF λ=2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-2222y y m λ+=- 整理得：1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）（１）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：12MA AF MBBFλλ=-．…………１过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AFMB BB BF ==．…………２由１２得：12AF AF BFBF λλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）（２）解：由解法一，(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥当且仅当221m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．同步练习１ 设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ B ）Ａ．9Ｂ．6 Ｃ．４Ｄ．３２ 设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（ B ）AＢ．Ｄ． ３已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．（0，１） Ｂ．（0，21] Ｃ．（0，22） Ｄ．[22，１）４ 已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F １、F ２，且|F １F ２|=２c ，点A 在椭圆上，211F F AF ⋅=0221c AF AF =⋅，则椭圆的离心率e=（ ）Ａ．33 Ｂ．213- Ｃ．215- Ｄ．22 ５ P 是抛物线)1(212-=y x 上的动点，点A （0,—１），点M 满足2PM MA =，则点M 的轨迹方程是（ A ） A ）)31(612+=y x （B ）)31(612+=x y （C ）)31(312-=y x （D ）)1(312+-=y x6 .已知两点M （—２，0）、N （２，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 （ B ）A.x y 82= Ｂ．x y 82-= C.x y 42= D.x y42-=7设直线l 过点P （0，３），和椭圆22194x y +=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 则的取值范围为______8已知点()()A ,2,B 04o -，，动点()P ,x y 满足2.8PA PB y =-，则动点P 的轨迹方程是_22xy =_____9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e , 过点C （—１,0）的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足2AC CB =（１）用直线l 的斜率k （ k ≠0 ） 表示△OAB 的面积；（２）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。

解：（１）设椭圆E 的方程为12222=+b y a x （ a ＞b ＞0 ），由e =32=a c∴a ２=３b ２ 故椭圆方程x ２ + ３y ２ = ３b ２设A （x １,y １）、B （x ２,y ２）,由于点C （—１，0）分向量AB 的比为２，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x 即⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得 （３k ２+１）x ２+6k ２x +３k ２—３b ２=0 由直线l 与椭圆E 相交于A （x １,y １）, B （x ２,y ２）两点得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>∆13331360222212221k b k x x k k x x C 的内分点）是恒成立（点 而S △OAB |1|||23|)1(|23||23|2|21||212222221+=+==--=-=x k x k y y y y y ５ 由１３得:x ２+１=—1322+k ，代入５得：S △OAB = )0(13||32≠+k k k （２）因S △OAB =23323||1||3313||32=≤+=+k k k k , 当且仅当,33±=k S △OAB 取得最大值 此时 x １ + x ２ =—１, 又∵3221x x + =—１ ∴x １=１,x ２ =—２ 将x １,x ２及k ２ =31代入４得３b ２ = ５ ∴椭圆方程x ２ + ３y ２ = ５ １0在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx ++=． １ ３整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭１ 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程１，12212x x k+=-+． ２又1212()y y k x x +=++ ３而(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将２３代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．。