高考模拟数学试卷一、单项选择（5⨯12=60）1.设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是 A ．C I S 1∩（S 2∪S 3）=Φ B ．S 1⊆（C I S 2∩C I S 3） C ．C I S 1∩C I S 2∩C I S 3）=Φ D ．S 1⊆（C I S 2∪C I S 3）2.已知复数()11aiz a R i +=∈-，若1z =，则a = A. 0B. 1C.1-D.1±3.已知点()()1,1,5,2A B -，则与向量AB u u u r垂直的单位向量为A. 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A.310 B.13 C.18 D.195. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[)50,60的汽车大约有6.已知点A （3,4），现将射线OA 绕坐标原点O 顺时针旋转4π至OB 处，若角α以x 轴非负半轴为始边、以射线OB 为终边，则3tan 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A. 7-B. 7C. 17-D. 177. 已知函数()222014120141x xx f x e -=++，则()1ln 2ln 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 52B. 32C. 12D. 08.计算机执行下图中的程序框图，为使输出的S 值等于111124618++++L ，则判断框内应该填入A. 8i <B. 8i ≥C. 9i >D. 9i <9.如图，随机向大圆内投掷一点，记该点落在阴影区域内的概率为1p ；记从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率为2p . 则12p p +=A. 21192π+-B. 1219π+-C. 329π+D. 419π+10. 函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点0x 属于区间A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭11.已知函数()f x 满足：()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R ∈且()114f =，则()2014f = A.14- B.14 C.12- D.1212.如果关于x 的方程24x kx x =+有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,+∞ D.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（5⨯4=20）13. 如果实数1,,,,9a b c --成等比数列，则b= .14. 已知有5个幂函数的图像如下图——其中它们的指数221555,,,,,552322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，则其指数从（a ）到（e ）依次为 .15. 如图，格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的外接球表面积为__ ___.16.设方程3405x x -+=的实数根为1x ，方程3405x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的实数根为2x ，则12x x += .三、解答题（10+12⨯5=70）17. 对定义域分别为f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()(); (); ().f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎪⎩且且且（1）若函数()11f x x =-，()2g x x =，写出函数()h x 的解析式； （2）求（1）问中函数()h x 的值域.18. 如图所示的是函数()()sin f x A x B ωϕ=++0,0,0,2A πωϕ⎛⎫⎛⎫>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象的一部分. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在y 轴右侧的第二个对称中心的坐标.19.已知a r 、b r均为单位向量.（1）记x 为a r 在a b +r r 方向上的正射影的数量；y 为b r 在a b +r r方向上的正射影的数量.试比较x 与y 的大小关系，并说明理由；（2）若312a b ⎫+=⎪⎪⎭r r ，求向量a r 与b r .20.设等比数列{}n a 的各项均为正数，项数为偶数，又知该数列的所有项的和等于所有偶数项和的4倍，而且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，求使n S 值最大的正整数n 的值. （其中lg 20.3 lg 30.4==，）21.已知函数24x y =的图像为1C ，过定点()01A ，的直线l 与1C 交于B 、C 两点，过B 、C 所作1C 的切线分别为1l 、2l . （1）求证：1l ⊥2l ；（2）记线段BC 中点为M ，求M 的轨迹方程.22. 已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.（1）若()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在极值，试求a 的取值范围，并证明所有极值之和小于13ln 2-+； （3）（附加5分）设()11n a n N n*=+∈，求证： ()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++L L .题号 13 14 15 16 答案17.18.19.20.21.22.一、单项选择（5⨯12=60）1. C ；2. D ；3. A ；4. A ；5. D ；6. B ；7. A ；8. C ；9. B ；10. B ；11. A ；12. D 二、填空题（5⨯4=20） 13. -3；14.22155,,,,55222---；15. 17π；16. 45三、解答题（10+12⨯5=70）17. （1）()2(1);11 (1).x x h x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩[创新定义的理解]（2）(]{}[),014,-∞+∞U U .[分段函数的值域，分离常数及对号函数]18.（1）22sin136xπ⎛⎫++⎪⎝⎭；（2）11,14π⎛⎫⎪⎝⎭.得1ω<，而且0ω>，所以23ω=.19.⑴由babaax++⋅=)(，bababy++⋅=)(，及1=a，1=b则=-yx-+⋅+⋅babaaa=+⋅+⋅bababb)1(1=+⋅+-⋅+bababa，所以yx=.⑵()0,1和31,22⎛⎫-⎪⎪⎭.20.（1）11,1083q a==，所以111083nna-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）5n=.21.（1）设直线:1l y kx=+，点()11,A x y、()22,B x y，则214y kxxy=+⎧⎪⎨=⎪⎩⇒2440x kx--=，∴124x x=-.22. （1）函数的定义域为()0,+∞.()12f x x ax'=+-.法一：∵函数在定义域上单调递增，∴120x ax+->12a xx⇔<+，而min1222xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以只需22a≤法二：()21212x axf x x ax x-+'=+-=，∵函数在定义域上单调递增，∴只需2210x ax-+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立.设函数()221g x x ax =-+考虑函数函数的图像得：①04a≤或②040a ⎧>⎪⎨⎪∆≤⎩⇒22a ≤. （2）若()f x 存在极值，则只需()221g x x ax =-+在()0,+∞上有变号零点，即0224aa ⎧>⎪⇒>⎨⎪∆>⎩.设函数的零点为12,x x ，则12121,22a x x x x +=⋅=. ()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax +=+-++-()()212121212ln 2x x x x x x a x x =++--+221ln 1242a a =+--21ln 124a =--由2228a a >⇒>得2111ln 1ln 123ln 2422a --<--=-+.（3）分析：不等式的左边无法求和，转向对式子整体的观察：()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++L L右边可否拆成n 项？答案是肯定的——()12ln 12ln ln ln 222n n n n a a a ++=+++++++6447448L L 个所以考虑能否证明不等式23ln 2n n n a a a -<+之后在利用同向相加原理证明所要证明的不等式成立. 证明：设函数()2ln 32F x x x x =+-+，(]1,2x ∈则当(]1,2x ∈时，()22312123148230x x x F x x x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=+-==>高考模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合A B U 中元素的个数为 ▲ ．2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ．6．若函数4()2x x a f x x -=⋅为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 7．不等式2221x x --<的解集为 ▲ ．8．若双曲线222142x y a a -=-的离心率为3，则实数a 的值为 ▲ ．9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ▲ ．10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f +++L 的值为 ▲ ．11．已知正实数,m n 满足+3m n =，则22+1++1m n m n 的最小值为 ▲ ． 12．已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 13．如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，且4,2,3AB AD BAD π==∠=，E 为BC的中点，若9AE DB ⋅=u u u r u u u r ，则对角线AC 的长为 ▲ ．14．若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)ADBCE（第13题）已知在ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 3A C ==. （1）求tan B ；（2）若227a b +=，求c 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ； （2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ．17．(本小题满分14分)如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r 分米的半圆，及矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元. 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； 当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B ，且椭圆的离心率为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与 x 轴交于点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．19．（本小题满分16分） 已知无穷数列{}n a 满足12n na a ++=，n S 为其前n 项和．（1）若12a =-，求4S ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值； （3）数列{}n a 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R ． （1）若1a =，解关于x 的方程()0f x =；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值；（3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB与弧AD长度相等，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：2AB BE CD=⋅．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵A的逆矩阵．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=，已知3(1,)2Pπ，Q为圆C上一点，求线段PQ长度的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。