（3）强度条件 1 [ ] （4）特点 该理论较好的解释了脆性材料在拉伸和扭转时的破坏 现象，但没有考虑其它两个主应力的影响，且对没有拉 应力的状态也不适用。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）
（1）内容 无论材料处于何种应力状态，只要其上某点的最大伸长线 应变ε1达到其极限值，材料即发生断裂破坏。 （2）破坏条件
又由第二强度理论 取μ=0.27
也即
0.787 ] [
则
[ ] 0.787 ] 0.8[ ] [
对于塑性材料，由第三强度理论
1 3 ( ) 2 [ ]
与纯剪切强度条件比较 则
[ ] 0.5[ ]
又由第四强度理论
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 1 3 )2 ] 3 [ ] 2
（1）内容 无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能μf达到单 向拉伸相应于极限应力σ0的形状改变比能μ0f时，材料即发生 屈服破坏。 （2）破坏条件 在三向应力状态下，弹性体的形状改变比能为
1 u uf [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 1 3 ) 2 ] 6E
max 1 3
2
方法： 叠加法
σ2 σ3
σ2
σ3
由虎克定律， σ1 单独作用下，在σ1方向的主应变可表示为
E 在σ 2 σ 3单独作用下，沿σ1方向的引起的主应变为
1 2
E 1


3
E
由叠加原理，在σ1σ2σ3三个主应力共同作用下σ1方向的主 应变为：
A 双向拉伸
p
σ A
p
σ
B
B
m
受扭转圆轴
τ
m
二、主平面和主应力
1、主平面 2、主应力 3、主单元体 单元体上剪应力为零的平面 主平面上的正应力(用σ1 ＞σ2 ＞ σ3） 全部由主平面所组成的单元体
三、一点应力状态的分类
•单向应力状态
•二向应力状态
（平面应力状态）
σ1
σ2
•三向应力状态 （空间应力状态）
T 1
m
轴力图
压
m
m
m
N A
m
——
+
m
A
Y A
m
maxc
T
2
D
m
P
m
maxt
M Wz M Wz
弯矩图
=
+
结论
D点所在的截面为危险截面
所以危险截面为D点所在的截面，危险点在截面的上下边缘各 点。
截面上边缘危险点的应力为压应力，其大小为 截面下边缘危险点的应力是拉应力
max t 拉
max c
M N Wz A
N M A Wz
又假设材料的许用应力为[σ]，则由于危险点处于单向应力 状态，故其压应力强度条件和拉应力强度条件分别为
maxc
min t
N M [ c ] A Wz
M N [ t ] Wz A
强度设计 强度校核 确定最大荷载
1 或 1 2
推论
两极值剪应力作用的平面相互垂直
3、极值剪应力大小计算
max
(
x y
2
) xy
2
2
min (
x y
2
)2 xy
2
五、αo和α1的关系
由
tg 2 0
2 xy
所以
1 tg 2 1 ctg2 0 tg( 2 0 ) tg 2 0 2
σ2 σ1 σ3 σ2 σ3 σ1 σ1
(a)
σ2 σ1
(b)
σ2
(c)
第二节 平面应力状态分析
一、平面应力正负规定 y σy
正应力： 拉正 压负
剪应力： 顺正 逆负 σx
τyx
τxy d e α
n c σx
f τxy b
二、任意斜截面上的应力
1、计算公式的推导 e τxy σx a α τα σα τyx σ f y t
m
m
则危险截面上危险点的最大应力为
max
0 0
1 3
2
（其中τ 可由单向拉伸试验确定） 沿与轴线45°斜截面 0
破坏条件
1 3
2

0
2
2
（3）强度条件 （4）特点
1 3 [ ]
该理论较好地解释了塑性材料（如低碳钢）在拉伸时的 破坏现象，但没有考虑中间应力的影响。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）
1 1 [ 1 ( 2 3 )] 单向拉伸时 E [ 1 ( 2 3 )] 0
（3）强度条件 （4）特点
0
0
E
1 ( 2 3 ) [ ]
该理论较好的解释了石料等脆性材料在拉伸时的破坏现象。
3、最大剪应力理论（第三强度理论） （1）内容 无论材料处于何种应力状态，只要某点的最大剪应力τmax 达到其极限值，材料即发生屈服破坏。 （2）破坏条件 在任意应力状态下
t 0
dA ( xy dAcos ) cos ...... 0
2、推导结果
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2

x y

x y
cos 2 xy sin 2
三、主平面上主应力计算及主平面位置的确定 1、主平面上主应力计算思路 由 令
第四节 强度理论简介
一、材料破坏的两种方式 脆性断裂 塑性变形
二、强度理论简介
1、概念 对材料破坏的原因所提出的不同假说。
3、研究强度理论的目的 找到复杂应力状态下材料破坏的原因，然后利用轴向拉伸 和压缩的实验结果来建立复杂应力状态下的强度条件。 强度理论简介
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
（1）内容 无论材料处于何种应力状态，只要其上某一点的最大拉应力 σ1达到其极限值，材料即发生断裂破坏。 1 0 （2）破坏条件
2
(
x y
) 2 xy
max
(
x y
2
) 2 xy
2
则
max
max min
2
第三节 三向应力状态简介 广义虎克定律
一、三向应力状态的最大应力
如图设主单元体的三向主应力为σ1 σ2 σ3
则规定 σ max= σ1, σmin= σ3 二、广义虎克定律表达式推导 σ2 σ1 σ1 σ3 σ2 σ3 σ1 σ1
四、偏心拉伸或压缩
1、概念：当作用在直杆的外力平行于杆件的轴线但与轴线 不重合时，将引起构件的偏心拉伸或压缩。 2、实例介绍 如厂房支撑吊车梁的立柱。 3、分析方法 如下图所示 P P e P
m m
单向拉伸
m
m
p t A
P m
P P +
+
P
m
t max
M WZ M WZ
C max
解：
如图所示
则在纯剪切应力状态下的三向主应力为σ1=τ σ2=0 σ3=-τ 对于脆性材料， 则由第一强度理论
B
τ
1 [ ]
[ ]
又由纯剪切强度条件 则
[ ] [ ]
1 ( 2 3 ) [ ] 0.27( ) [ ]
同样与纯剪切强度条件比较 则
[ ] 0.577 ] 0.6[ ] [
所以
对于脆性材料
对于塑性材料
[ ] (0.8 ~ 1.0)[ ] [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ]
§5-4组合变形的强度计算
一、组合变形的概念与实例
1、组合变形
2、实例
在工程实际中，一受力杆件同时产生两种或两种以上的基本变形。

x y
2
则

x y
2
cos 2 xy sin 2
0
x y
2
sin 2 xy cos 2 0
也即
0
2 xy
故α所在的平面为主平面，此时 设α= α0（主平面外法线与x轴正向的夹角）
2、主平面位置的确定
tg 2 0
（4）特点 该理论的计算结果与试验一的形式： r
其中
r1 1 r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
r4
[ ]
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 1 3 )2 ] 2
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
掌握内容 1、受力构件中一点应力状态的分析方法。
2、平面应力状态（单向、二向应力）中主应力的计算 及主平面位置的确定。
3、强度理论及其应用。 4、常见组合变形（拉压弯曲、偏心拉伸、扭转弯曲） 强度条件的建立及其应用。
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
第一节 应力状态的概念 一、受力构件中一点的应力状态的分析方法（截取微小单元体）
1 1 1 1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
同理可计算沿σ 2， σ 3方向的主应变，其结果为
则广义虎克定律的表达式：
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
推论
x y
0
或
0 2
两主平面相互垂直，其中一个是最大正应力作用的 平面，另一个是最小正应力作用的平面
3、主应力大小计算公式