第8章组合变形的强度计算8.1 组合变形的概念在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。

在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。

若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。

若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。

例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB段，在力P作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。

图8.1 吊钩及传动轴屋架屋面檀条qzyqyqxO(a)(b)(c)(a) (b) (c)图8.2 斜屋架上的工字钢檀条求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然材料力学180后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。

最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。

实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。

反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。

下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。

8.2 斜 弯 曲前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。

在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。

在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。

在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。

实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。

现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。

这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。

在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为1y M F x =，2()z M F x a =-在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为y y M z I σ'=，z zMy I σ''=- 根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即y z y zM Mz y I I σσ'''+=- (8-1)式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。

在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。

(a) (b)图8.3 斜弯曲第8章 组合变形的强度计算181为了进行强度计算，必须先确定梁内的最大正应力。

最大正应力发生在弯矩最大的截面(危险截面)上，但要确定截面上哪一点的正应力最大(就是要找出危险点的位置)，应先确定截面上中性轴的位置。

由于中性轴上各点处的正应力均为零，令00()y z ,代表中性轴上的任一点，将它的坐标值代入式(8-1)，即可得中性方程00y z y zM Mz I I -= (8-2) 从上式可知，中性轴是一条通过横截面形心的直线，令中性轴与y 轴的夹角为α，则00tan tan y yZ y z zI I z M y M I I αϕ==⋅=式中，角度ϕ是横截面上合成弯矩22y z M M M =+的矢量与y 轴的夹角(如图8.3(b)所示)。

一般情况下，由于截面的y z I I ≠，因而中性轴与合成弯矩M 所在的平面并不垂直。

而截面的挠度垂直于中性轴(如图8.4(a)所示)，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，这与平面弯曲不同。

对于正方形、圆形等截面以及某些特殊组合截面，其中y z I I =，就是所有形心轴都是主惯性轴，故αϕ=，因而，正应力可用合成弯矩M 进行计算。

但是，梁各横截面上的合成弯矩M 所在平面的方位一般并不相同，所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内，梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。

可是，梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。

图8.4 斜弯曲时横截面上的应力情况确定中性轴的位置后，就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力σ值最大的点。

一般只要作与中性轴平行且与横截面周边相切的线，切点就是最大正应力的点。

如图8.4(b)所示的矩形截面梁，显然右上角1D 与左下角2D 有最大正应力值，将这些点的坐标(y 1, z 1)或(y 2, z 2)代入式(8-1)，可得最大拉应力t,max σ和最大压应力c,max σ。

在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处于单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条材料力学182件，进行强度计算。

【例题8.1】 一长2m 的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量41.010MPa E =⨯，梁上作用有两个集中荷载1 1.3kN F =和2 2.5kN F =，如图8.5(a)所示，设截面0.6b h =，[]10MPa σ=。

试选择梁的截面尺寸，并计算自由端的挠度。

图8.5 例题8.1图解：(1) 选择梁的截面尺寸。

将自由端的作用荷载1F 分解11sin150.336kN y F F ==11cos15 1.256kN z F F ==此梁的斜弯曲可分解为在xy 平面内及xz 平面内的两个平面弯曲，如图8.5(c)所示。

由图8.5可知M z 和M y 在固定端的截面上达到最大值，故危险截面上的弯矩2232232.510.33623.172(kN m)1.25622.215(kN m)110.60.16611(0.6)0.0666z y z y M M w bh h h h w hb h h h =⨯+⨯=⋅=⨯=⋅==⨯⋅===⨯⋅=上式中M z 与M y 只取绝对值，且截面上的最大拉压应力相等，故 66max 333.17210 2.512100.10.06y z z y M M W W h h σ⨯⨯=+=+第8章 组合变形的强度计算1836373.58710[]h σ⨯=≤即194.5(mm)h = 可取h =200mm ，b =120mm 。

(2) 计算自由端的挠度。

分别计算y w 与z w ，如图8.5(c)所示，则232123362y y z z l F F l l w l EI EI ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=--- ⎪⎝⎭333346310.336102 2.5101(321)2(m)13 1.010100.120.212⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯33.7210m 3.72(mm)-=-⨯=-33314631.256102(m)133 1.010100.20.1212z z y F l w EI ⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯0.0116m 11.6(mm)==12.18(mm)w =11.6arctan 72.453.7β⎛⎫== ⎪⎝⎭8.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。

如图8.6(a)所示的起重机横梁AB ，其受力简图如图8.6(b)所示。

轴向力x F 和Ax F 引起压缩，横向力Ay F ，W ，y F 引起弯曲，所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。

对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。

于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横截面上的正应力。

下面我们举一简单例子来说明。

悬臂梁AB (如图8.7(a)所示)，在它的自由端A 作用一与铅直方向成ϕ角的力F (在纵向对称面xy 平面内)。

将F 力分别沿x 轴y 轴分解，可得sin cos x y F F F F ϕϕ==x F 为轴向力，对梁引起拉伸变形(如图8.7(b)所示)；y F 为横向力，引起梁的平面弯曲(如图8.7(c)所示)。

距A 端x 的截面上的内力为轴力 N sin x F F F ϕ==材料力学184弯矩 cos z y M F x F x ϕ=-=-⋅图8.6 起重机在轴向力x F 作用下，杆各个横截面上有相同的轴力N x F F =。

而在横向力作用下，固定端横截面上的弯矩最大，max cos M F l ϕ=-⋅，故危险截面是在固定端。

图8.7 拉弯组合变形第8章 组合变形的强度计算185与轴力N F 对应的拉伸正应力t σ在该截面上各点处均相等，其值为N t sin x F F F A A Aϕσ===而与max M 对应的最大弯曲正应力b σ，出现在该截面的上、下边缘处，其绝对值为 max b cos z zM Fl W W ϕσ== 在危险截面上与N F ，max M 对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图8.8(a)和 图8.8(b)所示。

将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化情况如图8.8(c)所示。

若t σ＞b σ，则min σ为拉应力；若t σ＜b σ，则min σ为压应力。

所以min σ之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。

如图8.7(c)所示的应力分布图是在t σ＜b σ的情况下作出的。

显然，杆件的最大正应力是危险截面上边缘各点处的拉应力，其值为max sin cos zF Fl A W ϕϕσ=+(8-3) 由于危险点处的应力状态为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。

应该注意，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。

若杆件的抗弯刚度很小，则由横向力所引起的挠度与横截面尺寸相比不能略去，此时就应考虑轴向力引起的弯矩。

图8.8 拉弯组合变形的应力叠加【例题8.2】 最大吊重8kN W =的起重机如图8.9(a)所示。