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题型之二 探究图形变化规律 中考命题热点 1．观察给定图形的摆放特点或变化规律，猜想下一个图形的摆放特点或变化规律， 或者能用含字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等的规律特点． 2．探究图形顶点坐标的变化规律．这类问题常常是一系列相似的几何图形的某个 顶点在给定函数图象上运动，要求写出某一指定位置的坐标或用一个代数式揭示 这一系列顶点的变化规律．
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【变式训练】
2．(2019·开州区)如图 3，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成，第 2
个图由 5 个圆组成，第 3 个图由 11 个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，
则第 6 个图形由
个圆组成( C )
A．39 C．41
图3 B．40 D．42
……
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(2)设 Pn(xn，yn)，如答图，过点 P2 作 P2M⊥x 轴于点 M.
∵△P2A1A2 是等腰直角三角形， ∴A1M＝P2M＝y2. ∵P1(3,3)，∴OA1＝6.
例 2 答图
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∴P2(y2＋6，y2)．代入 y＝－13x＋4，得 y2＝－13(y2＋6)＋4.解得 y2＝32. 同理，求得 y3＝34，…，不难发现规律：纵坐标后一个是前一个的一半，即 yn＝12yn －1， ∴yn＝12n－1y1＝2n3－1. ∵△PnAn－1An 是等腰直角三角形，
1 35 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 …
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按照以上排列的规律，第 25 行第 20 个数是( A )
A．639
B．637
C．635
D．633
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【解析】 根据三角形数阵可知，第 n 行奇数的个数为 n 个，则前(n－1)行奇数的 总个数为 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝nn2－1个． ∴第 n 行(n≥3)从左向右的第 m 个数为第nn2－1＋m 个奇数， 即为 2nn2－1＋m－1＝n2－n＋2m－1. 当 n＝25，m＝20 时，这个数为 252－25＋2×2
∴Sn＝12·yn·2yn＝y2n＝2n3－12. ∴S2 018＝22 0318－12＝429017. 【点悟】 根据一系列图形的变化，探究其一般规律，是近几年较流行的一类考 题，解这类问题应从简单情形入手，当“编号”或“序号”增加时，比较后一个 图形与前一个图形在数量上的增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律， 从而推出一般性的结论．
中考突破•数学
第二轮 专题三
第二轮 专题突破
专题三 规律探究问题
专题串讲 归类探究 课时作业
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专题串讲
规律探究问题指的是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归 纳，揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．这类考题一般 有三类：一是探究数式变化规律，二是探究图形变化规律，三是探究几何图形元 素间的数量关系或几何结论的变化情况．
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【点悟】 数字(或式子)的规律主要是指一组排列的数字(或式子)之间所形成的规 律，这种规律常常与数字(或式子)排列的序号有着密切的联系，探究数字(或式子) 中的规律可以与数字的序号放在一起进行讨论．
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【变式训练】 1．(2018·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：
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归类探究
题型之一 探究数式变化规律 中考命题热点 1．给出一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳 出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式，或按某些规律写出后面某一项的数 或式子． 2．给出一个数表，探究某个特殊位置的数或坐标．
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1 (2019·安徽模拟)观察下列等式：1×12＝1－12，2×23＝2－23，3×34＝3－34，… (1)猜想并写出第 n 个等式； (2)证明你写出的等式的正确性． (1)解：猜想：n·n＋n 1＝n－n＋n 1. (2)证明：右边＝nnn＋＋11－n＝n＋n2 1＝左边， 即 n·n＋n 1＝n－n＋n 1.
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2 (1)(2017·潍坊)如图 1，自左至右，第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11 个正方形和 10 个等边三角形 组成；第 3 个图由 3 个正六边形、16 个正方形和 14 个等边三角形组成，……，按 照此规律，第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n＋3 .
图1
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(2)(2018·天门)如图 2，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…
都是等腰直角三角形，其直角顶点 P1(3,3)，P2，P3，…均在直线 y＝－13x＋4 上．设
△P1OA1，△P2A1A2，9△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反 映的规律，S2 018＝ 42 017 .
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题型之三 探索几何图形元素间的数量关系或几何结论的变化情况 中考命题热点 1．结论是否成立型：这类探索问题的设问，常以适合某种条件的结论“是否成立” 等语句加以表述．从给出的已知条件出发，经过推理能够证明结论是否成立． 2．判断猜想型：这类问题的设问通常是“两条线段有何关系”(探索相等、平行 或垂直)，“两个角相等吗”“这个三角形是什么特殊三角形”“这个四边形是什 么特殊四边形”等．
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【解析】 根据图形的变化，发现第 n 个图形的最上边的第 1 排是 1 个圆，第 2 排 是 2 个圆，第 3 排是 3 个圆，…，第 n－1 排是 n－1 个圆，第 n 排是(2n－1)个圆， 则第 n 个图形的圆的个数是： 2[1＋2＋…＋(n－1)]＋(2n－1) ＝n2＋n－1. 当 n＝6 时， 62＋6－1＝41.
图2
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【解析】 (1)第 1 个图中正方形和等边三角形的个数和为 6＋6＝12＝9＋3； 第 2 个图中正方形和等边三角形的个数和为 11＋10＝21＝9×2＋3； 第 3 个图中正方形和等边三角形的个数和为 16＋14＝30＝9×3＋3； ∴第 n 个图中正方形和等边三角形的个数和为 9n＋3.