• 三、基本步骤 • 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）
解题。
• 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三） 找规律
• 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六）， 变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、 （三）找出新数列的规律
• 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法 （二）解题
试找出 在第 1 2006
行第
个数
1
1
1
23
1
1
1
4
5
6
1
1
1
1
7
89
10
1 1
1 1
1
11
12
13
14
15
11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子 围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。 如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个 数。 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
，32 3 3 4 ， 42 4 45，
……
将上面的规律用含有n的公式表示出来
是
.
10．观察下列各式：
…，
用n（自然数）把这个规律表示出来．
11．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝ 16，36－16＝20，……
这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n表 示自然数，请用含有n的等式表示出来。 12 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11 －12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．
平方数列规律：（序 +某）2
平方数列规律：（序 +某）2 正方形点图，点变边也变（平方列规律）
总点数分别是4，9，16，平方列规律（n+1）2
6．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房 子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了 块石子．
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅
度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等 差数列）。
……
图①
图②
图③
2、已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32；
③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，
第⑤个等式是
．第n个等式
是
．
3、观察下列各式；①、1+1=1×2 ；②、
2+2=2×3； ③、3+3=3×4 ；………请把你猜想
到的规律用自然数n表示出来
… 设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.
观察下列几个算式，找出规律： 1＋2＋1=4
1＋2＋3＋2＋1=9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25
…… 利用上面规律，请你迅速算出： ①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= ②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？ ③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n的计算公式吗？
框里的最大的数和最小的数。
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 995 996 997 998 999 1000 1001
（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图 案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要 19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样 的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，
• 二、基本技巧
• （一）标出序列号：找规律的题目，通常 按照一定的顺序给出一系列量，要求我们 根据这些已知的量找出一般规律。找出的 规律，通常包序列号。所以，把变量和序 列号放在一起加以比较，就比较容易发现 其中的奥秘。
• 给出的数：0，3，8，15，24，……。
• 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
…… 请你将猜想得到的式子用含正 整数n的式子表示来__________。
7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉
发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构
成的规律填写：
a所表示的数：
。
b所表示的数：
。
1
11
121
1331
14 a 41
15 b b 51
．将1， 12 ，1 3， 14 ，1 5 ， 16，…按一定规 律排成下表：
到的高度； (2)请用含n的代数式表示
高度h：____________
年数n 高度h（单位： 厘米）
1 115
2 130
3 145
4
…
……
115=差×序+某＝ 15×① +100改序为n
等差规律：差乘序+某数 点图中每边为等差变化.边数不变， 则总点数也是等差变化
等差
等差
总点数分别是6，8，10，。。。。等差，差为2 图1＝6＝差乘序+某＝2×①+4， 所以第n个图＝2n+4
一 如增幅相等（等差数列）：
例： 1、3、5、7……求第n位数 例： 2、4、6、8……求第n位数。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
等差规律：差乘序+某数
4、 6、 8、 10、 12……
相邻之差是2 第一数4＝差×序+某＝ 2×① +2 第二数6＝差×序+某＝ 2×② +2 第三数8＝差×序+某＝ 2×③ +2 第四数10＝差×序+某＝ 2×④ +2
……
①
②
③
一个小图是8根，每增加一个图多6根
6n＋2根
平方数列：与1，4，9，16，25，36，49，64 相关的数列
平方数列规律：把第一个数折为（序 +某）2， 改序为n,
例：4，9，16，25，。。。。。。
第一个数4＝（序 +某）2＝ （① +1）2 第n个数＝（n+1）2
平方数列规律：（序 +某）2 练习9，16，25，36，。。。。。
• B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. ..... 答案与2的乘方有关 即： 2n
• （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为 第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、 （三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出 的规律上加上第一位数，恢复到原来。
• 例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到 新数列：
• 0、3、8、15、24……，
• 序列号：1、2、3、4、5
• 分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题 中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1
• （五）有的可对每位数同时加上，或乘以， 或除以第一位数，成为新数列，然后，在 再找出规律，并恢复到原来。
• 例 ： 4，16，36，64，？，144， 196，… ？（第一百个数）
（二）公因式法：每位数分成最
小公因式相乘，然后再找规律， 看是不是与n2、n3,或2n、3n,或
2n、3n有关。 例如：1，9，25，49，（），
（），的第n为 （2n-1）2ห้องสมุดไป่ตู้例如 ：2、6、12、20、（3）0 、
42、……
• （三）看例题：
• A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....， 增幅的增幅是12、18 答案与3有关 且............即： n3+1
。
4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、
1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；……
根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子
5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、
2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数
是
。
练习 一
2，设a、b都表示数，规定： a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）
第一个数9＝（序 +某）2＝ （① +2）2 第n个数＝（n+2）2
练习（2）5，10，17，26，。。。。。
5＝4+1＝（序 +某）2+1＝ （① +1）2+1 第n个数＝（n+1）2+1
例：3，15，24，35，。。。。。 观察知，数列比4，16，25，36都小1
3＝4－1＝（序 +某）2－1＝ （① +1）2－1 第n个数＝（n+1）2－1
2、5、10、17……，求第n位数。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15， 24，……。试按此规律写出的第100个数 是。
• （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅 度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类 题大概没有通用解法，只用分析观察的方 法，但是，此类题包括第二类的题，如用 分析观察法，也有一些技巧。
第n数＝差×序+某＝ 2n +2
等差规律：差乘序+某数
（1）1、3、5、7、相邻之差是2
差×序+某＝ 2×① －1 第n个数是2n-1
（2）6、8、10、12
相邻之差是2 差×序+某＝ 2×① +4 第n个数是2n+4
等差规律：差乘序+某数
树的高度与树生长的年数 有关，测得某棵树的有关 数据如下表：（树苗原高 100厘米）年数n高度h （单位：厘米） 1)填出第4年树苗可能达
例1 观察下列算式：
31 3,32 9,33 27,34 81, 35 243,36 729,37 2187,38 6561,
……