qi sin( / 2) cos i
显然四元数满足如下的约束条件
q02 q12 q22 q32 1
所以四个参数中只有三个是独立的
i 1, 2,3
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 四元数
习惯上把四元数分为标部和矢部两部分 标部
Q q0 qˆ q0 q1i q2 j q3k 矩阵形式
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 姿态机动类型
从静止的初始姿态机动到运动的终止状态(rest-move)
操作过程中姿态速率
大部分时间是匀速的，
max
如天线的扫描、相机
的扫描等；
t
姿态跟踪问题
要求固连在卫星（或
附件）上的某条直线
（目标视线）始终指
向目标星 。
max t
2.2 航天器姿态机动控制律设计
1）定义正定无界的Lyapunov函数
V
k1qˆeT qˆe
1 2
ωeT
Jωe
k1 0
姿态动力学方程
Jω ωJω ωh Tc Tg 忽略了外干扰 Td和其它作用力矩 Tc1
Tc h
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 控制器设计
2）对Lyapunov函数求时间导数
V 2k1qˆeT qˆe ωeT J ω ωd
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 姿态机动的姿态运动学方程
由运动学方程求解姿态角速度
1
cos
x
x sin
cos sin
cos z y cos
sin z
cos cos sin
x sin z cos
式中
x x 0 (sin cos sin sin cos )
y
y 0 cos cos
FD
FB ABD ABI ADTI
qe20 qˆeT qˆe E3 2qˆeqˆeT 2qe0qˆe
A21
ω21
T
A21
A BD ωe ABD
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 误差四元数的性质
误差四元数仍满足约束条件
qe20 qˆeT qˆe 1
和运动学方程
q e 0
1 2
qˆ eT
Qe Qd* Q
注意到
Qd*
qqdˆ0d
，按四元数乘法展开
误差四元数标部
qd
q0qd 0 qˆT qˆd 0qˆ q0qˆd qˆqˆd
qe0
qˆe
误差四元数矢部
若 Q Qd
Qe 1 0 0 0T
若 Qe 1 0 0 0T
Q Qd Qe Qd
亦即Qe 1 0 0 0T是 Q Qd 的充要条件
其中 k k1qe，0 K 为对称正定矩阵
则有
V ωeT Kωe
当且仅当 ωe 0 时有 V 0 ，即 V 为非正定，系统是Lyapunov稳定 的，还需要进一步证明系统是渐近稳定的。
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 控制器设计
4）证明系统的渐近稳定性 根据LaSalle不变性原理证明系统的渐近稳定性
➢ 控制器设计
4）证明系统的渐近稳定性
Jω ωJω ωh Tc Tg
Tc kqˆe Kωe Tg ω Jω h Jωd
Jωe Kωe kqˆe 0
即 ωe 0
ωe 0
ωe 0
qˆe 0 qˆe 0 证明了系统的渐近稳定性。
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 控制器设计
对于系统
x F(x)
若存在正定的Lyapunov函数 V (x)，其0 时间导数 则系统的解收敛到不变集M。 对前述姿态控制系统，则系统的解收敛到
M= x= qˆeT
ωeT
T
R6
:
x=
qˆeT
因此只需证明 ωe 0时，qˆe 0 即可。
03T
T
V(x) 0
2.2 航天器姿态机动控制律设计
矢部
q0
col(Q)
q0
qˆ
q1
q2 q3
共轭四元数
q0
Q* q0 qˆ q0 q1i q2 j q3k
矩阵形式
col(Q*
)
q0
qˆ
q1
qq23
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 四元数表示的姿态运动学方程
四元数表示的姿态运动学方程
col(Q) 1 F (ω)col(Q) 2
姿态四元数 罗格里德斯参数(RPS) 改进的罗格里德斯参数(MRPS)
四元数
1843年，爱尔兰科学家哈密顿提出了四元数的概念。为了 研究四元数，哈密顿花了34年的时间。
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 四元数
坐标系Oxayaza绕某一轴ON旋转 即
与坐标系Oxbybzb重合，轴线ON与坐标轴 xa、ya、za(亦即与xb、yb、zb)的夹角分别 为β1、 β2、 β3。
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 姿态机动的姿态动力学方程与运动学方程
Jω ωJω h ωh Tc1 Td Tg
姿态机动时，上述方程一般不能进行简化。 在一些特殊情况下，上述方程仍可适当进行简化，这些情况是： 1）为轨道精确调整需要进行姿态机动时，欧拉角仍可视为 小量； 2）大角度姿态机动时，如对机动速度没有明确要求，欧拉角 速度仍可视为小量。这类情况如消除姿态翻滚、一般情况 下的姿态再定向等。
Qc
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 相关变量定义
Q 当前的星体姿态四元数； ω 当前的星体姿态角速度; Qd 期望的星体姿态四元数； ωdD 期望的星体姿态角速度； Qe 星体姿态误差四元数； ωe 星体姿态误差角速度；
ω 在FB中描述 ωdD在FD中描述
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 几个相关公式
sin cos cos
sin sin cos cos
2 2 2
sin sin sin sin
2 2 2
2 2 2
2 2 2
尤其要注意的是：进行四元数和欧拉角的转换时，两者必须是相对同一
个基准坐标系！!
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 四元数表示的姿态运动学方程
z z 0 (sin cos cos sin sin )
可见在 9时0o方程出现奇异，无法求解姿态角速度。
为什么要求解姿态角速度 、 、 ？
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 姿态机动的姿态运动学方程
为解决运动学方程中的奇异性问题，需要用其它的参数来描述大角度 姿态机动时的航天器姿态，目前主要的姿态描述参数有：
qˆe
1 2
qˆe qe0 E33
ωe
Jω ωJω ωh Tc Tg
V k1qˆeT (qˆe qe0E)ωe ωeT Tc Tg ω(Jω h) Jωd
V ωeT (k1qe0 E k1qˆe )qˆe ωeT Tc Tg ω (Jω h) Jωd
这里将 col(Qd )简写为 Qd
期望姿态四元数： Qd qd0 qd1 qd 2 qd 2 T qd0 qˆdT T
约束条件：
qd20 qˆd T qˆd 1
运动学方程：
qˆd
1 2
qˆd ωdD
qd 0ωdD
qd 0

1 2
qˆ
d
T
ωdD
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 误差四元数的定义
➢ 四元数表示的姿态运动学方程
运动学方程的另一种形式
qˆ
1 2
qˆω q0ω
q0
1 2
qˆT ω
四元数与欧拉角的关系
col(Q)
q0
q1
qq23
scions22
cos
2
sin
cos cos sin 22 2
cos
cos
cos
22
2
sin cos sin 22 2
0
V ωeT Tc Tg k1qe0qˆe ω (Jω h) Jωd
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 控制器设计
3）确定控制力矩的形式
V ωeT Tc Tg k1qe0qˆe ω (Jω h) Jωd
若 Tc kqˆe Kωe Tg ω Jω h Jωd
四元数的优点：运动学方程无奇异 四元数的缺点：四个参数不独立；方向具有不确定性
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 姿态机动类型
姿态机动操作通常有如下三种情况： 从静止的初始状态机动到静止的终止姿态(rest-rest)
姿态机动方式： a) 加速—减速 b) 加速—匀速—减速
a)
b)
max t
max t
航天动力学与控制的新进展
第二章、航天器姿态控制系统设计
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 姿态机动任务：
消除姿态翻滚、再定向、倾斜和侧摆、建立点火姿态。
姿态角不再是小量，此时姿态角速率仍可视为小量。
➢ 目前卫星的姿态机动角速率:
大、中型卫星：0.1°~ 0.5°/s
小卫星：
0.1°~ 1°/s
在快速姿态机动问题中，姿态角速率可达1°~10°/s， 此时姿态角速率一般也不可视为小量。
从而，Qe 1 0 0 0T 是姿态误
差为零的充要条件。进一步地，
qˆe 0 0 0T 也是姿态误差为零的
充要条件。
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 误差角速度的定义
式中
ωe ω ωd ω ABDωdD
ωd ABDωdD
rest-rest rest-move 姿态跟踪
ωd 0 ωe ω
2.2 航天器姿态机动控制律设计
➢ 误差四元数的定义